事件

关系

事件间的关系本质上是集合之间的关系。设 $A,B$ 为随机试验 $E$ 的两个事件。

• 包含：如果事件 $A$ 发生必然导致事件 $B$ 发生，则称事件 $B$ 包含事件 $A$，记为 $A\subset B$。这意味着 $A$ 的所有样本点都属于 $B$。 $A\subset B⟺\text{若 }A\text{ 发生，则 }B\text{ 必发生}$

• 相等：如果 $A\subset B$ 且 $B\subset A$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 相等，记为 $A=B$。

• 积（交）：事件“$A$ 与 $B$ 同时发生”称为事件 $A$ 与 $B$ 的积或交，记为 $AB$ 或 $A\cap B$。 $AB=\{x|x\in A\text{ 且 }x\in B\}$

• 和（并）：事件“$A$ 与 $B$ 至少有一个发生”称为事件 $A$ 与 $B$ 的和或并，记为 $A\cup B$。 $A\cup B=\{x|x\in A\text{ 或 }x\in B\}$

• 差：事件“$A$ 发生而 $B$ 不发生”称为事件 $A$ 与 $B$ 的差，记为 $A-B$。它等价于 $A\bar{B}$。 $A-B=\{x|x\in A\text{ 且 }x\notin B\}=A\bar{B}$

• 互斥（互不相容）：如果事件 $A$ 与 $B$ 不能同时发生，则称它们是互斥的或互不相容的。 $AB=\varnothing$ 基本事件之间一定是互斥的。

• 对立事件（逆事件）：事件“$A$ 不发生”称为事件 $A$ 的对立事件或逆事件，记为 $\bar{A}$。

  $$\{\begin{array}{l}A\bar{A}=\varnothing \\ A\cup \bar{A}=\Omega \end{array}$$

  注意：对立事件一定是互斥的，但互斥事件不一定对立。

• 完备事件组：若一系列事件 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 满足两个条件：

  $$\{\begin{array}{ll}{A}_i{A}_j=\varnothing & (i\ne j)\\ {\bigcup }_{i=1}^n{A}_i=\Omega & \end{array}$$

  则称 $A_1,A_2,\dots ,A_n$ 构成一个完备事件组或样本空间的一个划分。

运算

事件的运算遵循集合的运算法则。设 $A,B,C$ 为任意事件。

• 交换律：

  $$\begin{array}{rl}A\cup B& =B\cup A\\ AB& =BA\end{array}$$

• 结合律：

  $$\begin{array}{rl}(A\cup B)\cup C& =A\cup (B\cup C)\\ (AB)C& =A(BC)\end{array}$$

• 分配律：

  $$\begin{array}{rl}A(B\cup C)& =AB\cup AC\\ A\cup (BC)& =(A\cup B)(A\cup C)\end{array}$$

• 吸收律：

  $$\begin{array}{rl}A\cup (AB)& =A\\ A(A\cup B)& =A\end{array}$$

• 对偶律（德摩根定律）：

  $$\begin{array}{rl}\overline{A\cup B}& =\bar{A}\bar{B}\\ \overline{AB}& =\bar{A}\cup \bar{B}\end{array}$$

  推广到多个事件：

  $$\begin{array}{rl}\overline{\bigcup _{i=1}^n{A}_i}& =\bigcap _{i=1}^n\overline{A_i}\\ \overline{\bigcap _{i=1}^n{A}_i}& =\bigcup _{i=1}^n\overline{A_i}\end{array}$$