高斯积分

高斯积分（Gaussian integral），也被称为欧拉 - 泊松积分（Euler-Poisson integral），是一个在数学、物理、统计学等领域中非常重要的定积分。它指的是以下形式的积分：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$$

这个积分之所以特别，是因为函数 $e^{-x^2}$ 的不定积分（原函数）不能用初等函数表示。这意味着我们无法通过通常的求原函数再代入上下限的方法来计算它。然而，这个定积分有一个非常简洁的解析解。

它的值为：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

推导过程详解

计算高斯积分最常用且最巧妙的方法是利用多变量微积分和极坐标变换。

设 $I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$。

为了计算 $I$，我们考虑 $I^2$：

$$I^2=\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-y^2}dy\right)$$

这里我们使用了两个独立的积分变量 $x$ 和 $y$，因为积分变量的名称不影响积分结果。我们可以将这两个一维积分组合成一个二维积分：

$$I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}{e}^{-y^2}dxdy$$

由于 $e^{-x^2}{e}^{-y^2}=e^{-(x^2+y^2)}$，所以：

$$I^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

这个二维积分的积分区域是整个 $xy$- 平面。现在，我们将使用极坐标变换来简化这个积分。

极坐标变换公式为：

$x=r\cos \theta$

$y=r\sin \theta$

$x^2+y^2=r^2$ 微分面积元 $dxdy=rdrd\theta$ 在极坐标系下，整个 $xy$- 平面对应于：

$r$ 从 $0$ 到 $\infty$ （半径）

$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ （角度）

将这些代入 $I^2$ 的表达式：

$$I^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdrd\theta$$

现在，我们可以将这个重积分分解为两个独立的积分：

$$I^2=\left({\int }_0^{2\pi }d\theta \right)\left({\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}dr\right)$$

第一部分积分：

$${\int }_0^{2\pi }d\theta =[\theta {]}_0^{2\pi }=2\pi -0=2\pi$$

第二部分积分：

$${\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}dr$$

这个积分可以使用换元法来解决。

令 $u=r^2$。

则 $du=2rdr$。

所以 $rdr=\frac{1}{2}du$。

改变积分的上下限：

当 $r=0$ 时，$u=0^2=0$。

当 $r\to \infty$ 时，$u={\infty }^2\to \infty$。

代入换元后的积分：

$${\int }_0^{\infty }{e}^{-u}\left(\frac{1}{2}du\right)=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{e}^{-u}du$$ $$=\frac{1}{2}{\left[-e^{-u}\right]}_0^{\infty }$$ $$=\frac{1}{2}\left((-e^{-\infty })-(-e^{-0})\right)$$ $$=\frac{1}{2}\left((0)-(-1)\right)$$ $$=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$$

将两部分积分结果相乘：

$$I^2=(2\pi )\cdot \left(\frac{1}{2}\right)$$ $$I^2=\pi$$

最后，由于 $e^{-x^2}$ 始终为正，所以积分 $I$ 必须是正数。因此：

$$I=\sqrt{\pi }$$

所以，

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

高斯积分的推广形式

通常，我们还会遇到更一般的形式：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx$$

其中 $a>0$。

我们可以通过换元法将其化为基本的高斯积分形式。

令 $u=\sqrt{a}x$。

则 $du=\sqrt{a}dx$，所以 $dx=\frac{1}{\sqrt{a}}du$。

当 $x\to \pm \infty$ 时，$u\to \pm \infty$。

代入积分：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2}\frac{1}{\sqrt{a}}du=\frac{1}{\sqrt{a}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2}du$$

我们知道 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-u^2}du=\sqrt{\pi }$，所以：

$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-a{x}^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{\pi }{a}}$$

高斯积分的重要性与应用

1. 正态分布（高斯分布）的归一化常数： 正态分布的概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$。 为了使这个函数是有效的概率密度函数，它的积分必须等于 1。高斯积分正是用来证明这一点的。 实际上，常数 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$ 就是为了归一化而设定的，它来源于高斯积分。

2. 物理学： 在量子力学、统计力学中，高斯积分无处不在，例如用于计算粒子在给定能量下的概率分布（玻尔兹曼分布）。

3. 工程学： 在信号处理中，高斯滤波器利用了高斯函数在频域和时域上的良好性质。

4. 误差理论： 高斯积分是最小二乘法和误差分析的基础。

5. 数学： 它与伽马函数（Gamma Function）紧密相关，即 $\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$。

总之，高斯积分是一个看似简单却蕴含深刻数学思想的积分，其在纯数学和应用科学中都扮演着极其重要的角色。