均值不等式

定义

对于 $n$ 个正实数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，定义以下四种平均数：

1. 调和平均数（HM）

H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}

$$2.\ast \ast 几何平均数（GM）\ast \ast$$

G = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}

$$3.\ast \ast 算术平均数（AM）\ast \ast$$

A = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}

$$4.\ast \ast 平方平均数（QM，又称均方根）\ast \ast$$

Q = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}}

## 不等式关系 均值不等式指出，对于任意正实数 $x_1, x_2, \dots, x_n$，有：

H \leq G \leq A \leq Q

等号成立当且仅当 $x_1 = x_2 = \dots = x_n$。 ### 证明（以 AM-GM 为例） **数学归纳法**： - **基础步骤**：当 $n=2$ 时，$(x_1 - x_2)^2 \geq 0$ 展开可得 $\frac{x_1 + x_2}{2} \geq \sqrt{x_1 x_2}$。 - **归纳假设**：假设对 $n=k$ 成立。 - **归纳递推**：对 $n=2k$，可通过拆分和递归应用完成；对一般情况可通过调整法证明。 ## 性质 - **单调性**：随着平均数的阶数增加（从调和到平方），数值单调不减。 - **齐次性**：所有平均数满足齐次性，即对所有 $\lambda > 0$，有 $M(\lambda x_i) = \lambda M(x_i)$。 ## 常用场景 1. **优化问题**：在约束条件下求极值（如最小化算术平均时可用几何平均下界）。 *示例*：若 $x+y=1$，则 $xy \leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$。 2. **概率与统计**：比较不同平均数的集中趋势。 3. **物理学与工程学**：计算等效电阻、能量密度等涉及调和或平方平均的场景。