对数和指数运算

定义

指数运算

设 $a\in {\mathbb{R}}^{+}$ 且 $a\ne 1$，$b\in \mathbb{R}$，则 $a^b$ 表示将 a 自乘 b 次：

$$a^b=\underset{b\text{个}}{\underbrace{a\times a\times \cdots \times a}}(b\in {\mathbb{N}}^{+})$$

对数运算

若 $a^b=N$，则记：

$${\log }_{a}N=b$$

其中 $a$ 称为底数，$N$ 称为真数

基本性质

指数运算性质

1. 乘法法则：

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

$$\ast 证明：展开为m+n个a相乘\ast 2.\ast \ast 幂的幂法则\ast \ast ：$$

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

$$3.\ast \ast 零指数\ast \ast ：$$

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

### 对数运算性质 1. **乘法转换**：

\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N

$$2.\ast \ast 除法转换\ast \ast ：$$

\log_a \left( \frac{M}{N} \right) = \log_a M - \log_a N

$$3.\ast \ast 幂运算转换\ast \ast ：$$

\log_a M^k = k \cdot \log_a M

$$4.\ast \ast 换底公式\ast \ast ：$$

\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\log_c b}{\log_c a}

## 指数法则 类似幂函数与指数函数类型的式子，可以转换

u^v = e^{v \ln u}

## 常用技巧 1. **指数方程解法**：

a^{f(x)} = b \Rightarrow f(x) = \log_a b

$$2.\ast \ast 对数方程解法\ast \ast ：$$

\log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a

3. **同底转换**： 当比较 $a^m$ 与 $a^n$ 时，通过指数单调性判断： - 若 $a > 1$，则 $m > n \Leftrightarrow a^m > a^n$ - 若 $0 < a < 1$，则 $m > n \Leftrightarrow a^m < a^n$ 4. **对数尺度应用**： - 将指数增长数据线性化：对 $y = ab^x$ 取对数得 $\ln y = \ln a + x \ln b$ - 地震震级（里氏级）、声音分贝值等对数尺度测量 ## 常用场景 ### 指数函数应用 1. **复利计算**：

A = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}

$$2.\ast \ast 放射性衰变\ast \ast ：$$

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

### 对数函数应用 1. **算法复杂度**： - 二分查找时间复杂度 $O(\log n)$ 2. **信息熵计算**：

H(X) = -\sum p(x) \log_2 p(x)

$$3.\ast \ast 酸碱度测量\ast \ast ：$$

\text{pH} = -\log_{10} [\text{H}^+]