定点数的编码表示

原码

带符号的绝对值表示

定义：最高位为符号位（0 表示正，1 表示负），其余位表示数值的绝对值。
表示方法：
- 正数：符号位为 0，数值位与真值的绝对值相同。
- 负数：符号位为 1，数值位与真值的绝对值相同。
计算举例（以 8 位为例）：
- [+5] 原 = 0000 0101
- [-5] 原 = 1000 0101
表示范围（n 位）：- (2^(n-1) - 1) 到 + (2^(n-1) - 1)。
特点：
- 表示直观，易于理解。
- 存在两个零的表示：+0 (00…0) 和 -0 (10…0)。
- 加减运算复杂，需要根据符号位和数值大小进行判断和调整。
- 乘除运算相对简单。
应用：仅在浮点数尾码的表示中使用

补数的特点

[x]_{补} = ⎩ ⎨ ⎧ 0, x 2^{n + 1} + x, 0 \leq x < 2^{n} - 2^{n} \leq x < 0 (m o d 2^{n + 1})

定义：
- 正数的补码是其本身。
- 负数的补码是其反码加 1。
表示方法：
- 正数：与原码和反码相同。
- 负数：符号位为 1，数值位是其绝对值的原码的数值位全部取反后加 1。
计算举例（以 8 位为例）：
- $+ 5$ 补 = 0000 0101
- $- 5$ 补：
  - $+ 5$ 原 = 0000 0101
  - $- 5$ 反 = 1111 1010 (符号位不变，数值位取反)
  - $- 5$ 补 = 1111 1010 + 1 = 1111 1011
表示范围（n 位）： $- 2^{n - 1}$ 到 $+ 2^{n - 1} - 1$ 。
特点：
- 只有一个零的表示（00…0）。解决了原码和反码中“0”的重复表示问题。
- 将符号位和数值位统一处理，加减运算可以统一进行（补码加法即为原码加法，补码减法等于补码加补码的负数）。
- 符号为直接参与运算，运算时符号位的进位作为模被自动舍弃。
- 比原码多表示一个最小负数（例如，8 位补码可表示 -128，而原码和反码只能到 -127）。
应用：计算机中进行数值运算的标准表示方法。

定义：
- 正数的反码是其本身。
- 负数的反码是其原码的符号位不变，其余数值位取反。
表示方法：
- 正数：与原码相同。
- 负数：符号位为 1，数值位是其绝对值的原码的数值位全部取反。
计算举例（以 8 位为例）：
- $+ 5$ 反 = 0000 0101
- $- 5$ 反：
  - $+ 5$ 原 = 0000 0101
  - $- 5$ 反 = 1111 1010 (符号位不变，数值位取反)
表示范围（n 位）： $- (2^{n - 1} - 1)$ 到 $+ (2^{n - 1} - 1)$ 。
特点：
- 存在两个零的表示：+0 (00…0) 和 -0 (11…1)。
- 加法运算规则比原码简单，但当最高位有进位时，需要将进位加到最低位（“循环进位”）。
应用：早期计算机曾使用，现在主要作为计算补码的中间步骤。

定义：真值 X 加上一个偏置量（或称为“偏移量”）K 后得到的编码。通常用于表示浮点数的阶码。
表示方法： $X$ 移 = X + K。
- 偏置量 K 通常取 $2^{n - 1}$ 或 $2^{n - 1} - 1$ （对于 n 位移码）。
- 例如，对于 n 位移码，若 $K = 2^{n - 1}$ ，则真值 0 的移码是 $0 + 2^{n - 1}$ ，即最高位为 1，其余为 0 (10…0)。
计算举例（以 8 位，K=128 即 $2^{8 - 1}$ 为例）：
- $+ 5$ 移 = 5 + 128 = 133 = 1000 0101
- $- 5$ 移 = -5 + 128 = 123 = 0111 1011
- $0$ 移 = 0 + 128 = 128 = 1000 0000
表示范围（n 位， $2^{n - 1}$ 时）： $- 2^{n - 1}$ 到 $+ 2^{n - 1} - 1$ 。
特点：
- 能够直观地比较大小：移码的大小顺序与真值的大小顺序一致，即移码越大，真值越大。这对于浮点数阶码的比较非常有利。
- 0 的表示是唯一的（当 K=2^(n-1) 时，0 的移码为 100…0）。
- 所有负数的移码的符号位为 0，所有非负数的移码的符号位为 1 (当 $K = 2^{n - 1}$ 时)。这与补码的符号位相反。
应用：主要用于浮点数表示中的阶码，便于比较大小。