数列和函数极限

一、等价无穷小

当 $x\to 0$ 时，常用的等价无穷小替换：

1. $\sin x\sim x$
2. $\tan x\sim x$
3. $\arcsin x\sim x$
4. $\arctan x\sim x$
5. $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
6. $\ln (1+x)\sim x$
7. $e^x-1\sim x$
8. $(1+x{)}^a-1\sim ax$（$a$ 为常数）
9. $a^x-1\sim x\ln a$（$a>0$）

性质：在乘除运算中可直接替换，加减运算中需谨慎使用。

二、重要极限

数列极限

1. ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e$
2. ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{n}=1$

函数极限

1. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
2. ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$
3. ${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$
4. ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$
5. ${\lim }_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$

三、洛必达法则

定义

若 ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}g(x)=0$ 或 $\infty$，且 ${\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在（或为 $\infty$），则：

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

适用场景：处理 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式。

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四、常用泰勒公式

定义

泰勒公式（Taylor’s Formula）将一个光滑函数 $f(x)$ 在某点 $a$ 附近展开为幂级数：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n,$$

其中 $f^{(n)}(a)$ 表示 $f$ 在 $a$ 处的 $n$ 阶导数，收敛域由余项 $R_n(x)$ 的极限决定。

常用泰勒展开

在 $x=0$ 处的展开（佩亚诺余项）：

1. $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
2. $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$
3. $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
4. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
5. $(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$
6. $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5)$
7. $\arcsin x=x+\frac{1}{6}{x}^3+\frac{3}{5!}{x}^5+o(x^5)$
8. $\arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+o(x^5)$
9. $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x=\frac{\pi }{2}-\left(x+\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{3}{5!}{x}^5+o(x^5)\right)$

应用场景：近似计算、复杂极限的化简。

补充泰勒展开公式

在 $x=0$ 处展开（佩亚诺余项）：

1. $\sqrt{1+x}$ 的展开：

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3+o(x^3)$$

2. $\sqrt{1-x}$ 的展开：

$$\sqrt{1-x}=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2-\frac{1}{16}{x}^3+o(x^3)$$

几何级数

1. 几何级数的定义

几何级数（Geometric Series）是指形如以下形式的无穷级数：

$$\sum _{n=0}^{\infty }a{r}^n=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$$

其中，$a$ 为首项，$r$ 为公比（$|r|<1$ 时级数收敛）。其和公式为：

$$S=\frac{a}{1-r},|r|<1.$$

2. 几何级数是泰勒公式的特例

考虑函数 $f(x)=\frac{1}{1-x}$，在 $a=0$ 处展开：

• 导数计算： $$f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}⟹f^{(n)}(0)=n!.$$

$$-泰勒展开：$$

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n, \quad |x| < 1.

这正是几何级数的和公式（$a=1$, $r=x$）。 #### 4. 证明 通过泰勒余项收敛性验证：

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1} = \frac{x^{n+1}}{(1 - \xi)^{n+2}},

其中 $\xi$ 介于 $0$ 和 $x$ 之间。当 $|x| < 1$，$R_n(x) \to 0$，故级数收敛。