请给出常用的多项式消元公式，如 (1−x2)=(1−x)(1+x),(1−x3)=(1−x)(1+x+x2) 等
常用多项式消元公式
定义
多项式消元公式指将高次多项式分解为低次多项式乘积的恒等式，常用于化简代数表达式、解方程等场景。
基本公式
平方差公式
1−x2=(1−x)(1+x)
证明：
展开右边：
(1−x)(1+x)=1⋅1+1⋅x−x⋅1−x⋅x=1+x−x−x2=1−x2
立方差公式
1−x3=(1−x)(1+x+x2)
证明：
展开右边：
(1−x)(1+x+x2)=1⋅(1+x+x2)−x⋅(1+x+x2)=1+x+x2−x−x2−x3=1−x3
高次推广公式
对任意正整数 n：
1−xn=(1−x)(1+x+x2+⋯+xn−1)
证明（数学归纳法）：
- 基例：当 n=1 时，1−x=(1−x)(1)，成立
- 归纳假设：假设当 n=k 时成立
- 归纳步骤：考虑 n=k+1 时：
1−xk+1=1−x⋅xk=(1−x)(1+x+x2+⋯+xk)（由归纳假设）
扩展公式
四次方分解
1−x4=(1−x)(1+x)(1+x2)
证明：
利用平方差公式：
1−x4=(1−x2)(1+x2)=(1−x)(1+x)(1+x2)
五次方分解
1−x5=(1−x)(1+x+x2+x3+x4)
常用场景
- 级数求和：例如化简几何级数 ∑k=0n−1xk=1−x1−xn
- 方程求根：快速找到多项式方程的根（如 x=1 是 1−xn=0 的根）
- 积分计算：简化有理函数积分（如 ∫1−x31dx）
- 组合数学：分析生成函数的乘积形式