Beta 函数

Beta 函数的定义

Beta 函数（贝塔函数），也称为欧拉第一类积分，是一个与伽马函数密切相关的特殊函数。其积分定义为：

$B (z_{1}, z_{2}) = \int_{0}^{1} t^{z_{1} - 1} (1 - t)^{z_{2} - 1} d t$ 其中 $z_{1}, z_{2}$ 为复数且实部大于 0。

Beta 函数与 Gamma 函数的关系公式：

$B (α, β) = \frac{Γ ( α ) Γ ( β )}{Γ ( α + β )}$ 这是 Beta 函数最重要的性质之一。

Beta 分布的概率密度函数可以表示为：

$f (x; α, β) = \frac{1}{B ( α , β )} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}$ 利用 Beta 函数与 Gamma 函数的关系，也可写成：

$f (x; α, β) = \frac{Γ ( α + β )}{Γ ( α ) Γ ( β )} x^{α - 1} (1 - x)^{β - 1}$

当参数为正整数时，Beta 函数可以表示为：

$B (m, n) = \frac{( m - 1 )! ( n - 1 )!}{( m + n - 1 )!}$ 这为计算提供了便利。

对称性：Beta 函数具有对称性质，即： $B (z_{1}, z_{2}) = B (z_{2}, z_{1})$

与二项式系数的关系：Beta 函数还与二项式系数密切相关。

这种关系在统计学中具有重要意义：

这种深层的数学关系体现了概率分布理论的内在统一性，使得不同分布之间能够相互转换和关联。