92 多元函数积分应用

几何应用

空间立体的体积

用二重积分计算体积

设立体由曲面 $z=f(x,y)$ （$f(x,y)\ge 0$）、$z=g(x,y)$ （$g(x,y)\le f(x,y)$）及柱面围成，底面为区域 $D$，则体积为：

$$V={\iint }_D[f(x,y)-g(x,y)]dxdy$$

特殊情况：

• 当 $g(x,y)=0$ 时：$V={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$
• 旋转体体积：绕 $x$ 轴旋转 $V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$

用三重积分计算体积

立体 $\Omega$ 的体积为：

$$V={\iiint }_{\Omega }1dV={\iiint }_{\Omega }dxdydz$$

曲面面积

显式曲面的面积

曲面 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的面积为：

$$S={\iint }_D\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy$$ $$={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy$$

参数曲面的面积

参数曲面 $\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ 在参数区域 $D$ 上的面积为：

$$S={\iint }_D|{\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v|dudv$$

其中 ${\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$ 是两个偏导向量的叉积。

隐式曲面的面积

曲面 $F(x,y,z)=0$ 的面积为：

$$S={\iint }_D\frac{|\nabla F|}{|F_z|}dxdy$$

其中 $\nabla F=(F_x,F_y,F_z)$，$D$ 是曲面在 $xy$ 平面上的投影。

弧长计算

平面曲线弧长

参数形式：曲线 $x=x(t)$，$y=y(t)$ （$t\in [\alpha ,\beta ]$）的弧长为：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$

极坐标形式：曲线 $r=r(\theta )$ （$\theta \in [\alpha ,\beta ]$）的弧长为：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta$$

空间曲线弧长

空间曲线 $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ （$t\in [\alpha ,\beta ]$）的弧长为：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}dt={\int }_{\alpha }^{\beta }|{\vec{r}}^{\prime }(t)|dt$$

物理应用

质心与重心

平面薄片的质心

设平面薄片占据区域 $D$，面密度为 $\rho (x,y)$，则：

质量：$m={\iint }_D\rho (x,y)dxdy$

质心坐标：

$$\bar{x}=\frac{1}{m}{\iint }_{D}x\rho (x,y)dxdy$$ $$\bar{y}=\frac{1}{m}{\iint }_{D}y\rho (x,y)dxdy$$

特殊情况：当 $\rho (x,y)=1$（均匀薄片）时，质心即为几何中心（形心）。

空间立体的质心

设立体占据区域 $\Omega$，体密度为 $\rho (x,y,z)$，则：

质量：$m={\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dV$

质心坐标：

$$\bar{x}=\frac{1}{m}{\iiint }_{\Omega }x\rho (x,y,z)dV$$ $$\bar{y}=\frac{1}{m}{\iiint }_{\Omega }y\rho (x,y,z)dV$$ $$\bar{z}=\frac{1}{m}{\iiint }_{\Omega }z\rho (x,y,z)dV$$

曲线的质心

设曲线 $C$ 的线密度为 $\rho (x,y,z)$，则：

质量：$m={\int }_C\rho (x,y,z)ds$

质心坐标：

$$\bar{x}=\frac{1}{m}{\int }_{C}x\rho (x,y,z)ds$$ $$\bar{y}=\frac{1}{m}{\int }_{C}y\rho (x,y,z)ds$$ $$\bar{z}=\frac{1}{m}{\int }_{C}z\rho (x,y,z)ds$$

转动惯量

平面薄片的转动惯量

设平面薄片占据区域 $D$，面密度为 $\rho (x,y)$：

对 $x$ 轴的转动惯量：$I_x={\iint }_D{y}^2\rho (x,y)dxdy$

对 $y$ 轴的转动惯量：$I_y={\iint }_D{x}^2\rho (x,y)dxdy$

对原点的转动惯量：$I_O={\iint }_D(x^2+y^2)\rho (x,y)dxdy=I_x+I_y$

对任意轴 $L$ 的转动惯量：$I_L={\iint }_D{d}^2(x,y)\rho (x,y)dxdy$

其中 $d(x,y)$ 是点 $(x,y)$ 到轴 $L$ 的距离。

空间立体的转动惯量

设立体占据区域 $\Omega$，体密度为 $\rho (x,y,z)$：

对 $x$ 轴的转动惯量：$I_x={\iiint }_{\Omega }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)dV$

对 $y$ 轴的转动惯量：$I_y={\iiint }_{\Omega }(x^2+z^2)\rho (x,y,z)dV$

对 $z$ 轴的转动惯量：$I_z={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)dV$

引力与静电场

万有引力

设质点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的质量为 $m$，立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho (x,y,z)$，则 $\Omega$ 对 $P$ 的引力为：

$$\vec{F}=-Gm{\iiint }_{\Omega }\frac{\rho (x,y,z)\vec{r}}{|\vec{r}{|}^3}dV$$

其中 $\vec{r}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$，$G$ 是万有引力常数。

引力势：

$$U=-Gm{\iiint }_{\Omega }\frac{\rho (x,y,z)}{|\vec{r}|}dV$$

静电场

设点电荷 $q$ 位于 $P(x_0,y_0,z_0)$，电荷分布 $\Omega$ 的电荷密度为 $\rho (x,y,z)$，则 $\Omega$ 在 $P$ 处产生的电场强度为：

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\iiint }_{\Omega }\frac{\rho (x,y,z)\vec{r}}{|\vec{r}{|}^3}dV$$

电势：

$$\varphi =\frac{1}{4\pi {ϵ}_0}{\iiint }_{\Omega }\frac{\rho (x,y,z)}{|\vec{r}|}dV$$

流体力学应用

液体静压力

设液体密度为 $\rho$，重力加速度为 $g$，液面高度为 $h$，则：

垂直平板所受压力：

$$F=\rho g{\iint }_{D}h(x,y)dxdy$$

其中 $D$ 是平板在适当坐标系中的投影，$h(x,y)$ 是点 $(x,y)$ 处的液体深度。

压力中心：压力的作用点，其坐标为：

$$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}xh(x,y)dxdy}{{\iint }_{D}h(x,y)dxdy},\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}yh(x,y)dxdy}{{\iint }_{D}h(x,y)dxdy}$$

流量计算

通过曲面的流量： 设流体的速度场为 $\vec{v}(x,y,z)$，通过有向曲面 $S$ 的流量为：

$$\Phi ={\iint }_S\vec{v}\cdot \vec{n}dS$$

其中 $\vec{n}$ 是曲面的单位法向量。

典型例题

例题1：旋转体体积

题目：求由曲线 $y=\sin x$ （$0\le x\le \pi$）绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。

解： 使用圆盘法，旋转体的体积为：

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }(\sin x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx$$ $$=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }(1-\cos 2x)dx=\frac{\pi }{2}{\left[x-\frac{\sin 2x}{2}\right]}_0^{\pi }$$ $$=\frac{\pi }{2}\left[\pi -0-(0-0)\right]=\frac{{\pi }^2}{2}$$

例题2：曲面面积

题目：求球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的表面积。

解： 方法一：使用球坐标参数化

$$x=a\sin \varphi \cos \theta ,y=a\sin \varphi \sin \theta ,z=a\cos \varphi$$

其中 $0\le \varphi \le \pi$，$0\le \theta \le 2\pi$

计算偏导向量：

$${\vec{r}}_{\varphi }=(a\cos \varphi \cos \theta ,a\cos \varphi \sin \theta ,-a\sin \varphi )$$ $${\vec{r}}_{\theta }=(-a\sin \varphi \sin \theta ,a\sin \varphi \cos \theta ,0)$$ $$|{\vec{r}}_{\varphi }\times {\vec{r}}_{\theta }|=a^2\sin \varphi$$

因此表面积为：

$$S={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{a}^2\sin \varphi d\varphi d\theta =a^2{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi$$ $$=a^2\cdot 2\pi \cdot [-\cos \varphi {]}_0^{\pi }=2\pi a^2\cdot [1-(-1)]=4\pi a^2$$

例题3：质心计算

题目：求由曲线 $y=x^2$ 和 $y=2x$ 围成的均匀薄片的质心。

解： 第一步：确定积分区域 解方程组：$y=x^2$ 和 $y=2x$ $x^2=2x\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0$ 所以 $x=0$ 或 $x=2$，对应的交点为 $(0,0)$ 和 $(2,4)$

积分区域：$D=\{(x,y):0\le x\le 2,x^2\le y\le 2x\}$

第二步：计算面积（质量）

$$A={\iint }_{D}1dxdy={\int }_0^2{\int }_{x^2}^{2x}1dydx={\int }_0^2(2x-x^2)dx$$ $$={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$

第三步：计算质心坐标

$$\bar{x}=\frac{1}{A}{\iint }_{D}xdxdy=\frac{3}{4}{\int }_0^2{\int }_{x^2}^{2x}xdydx=\frac{3}{4}{\int }_0^{2}x(2x-x^2)dx$$ $$=\frac{3}{4}{\int }_0^2(2x^2-x^3)dx=\frac{3}{4}{\left[\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^2$$ $$=\frac{3}{4}\left(\frac{16}{3}-4\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1$$ $$\bar{y}=\frac{1}{A}{\iint }_{D}ydxdy=\frac{3}{4}{\int }_0^2{\int }_{x^2}^{2x}ydydx=\frac{3}{4}{\int }_0^2{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_{x^2}^{2x}dx$$ $$=\frac{3}{8}{\int }_0^2[(2x{)}^2-(x^2{)}^2]dx=\frac{3}{8}{\int }_0^2(4x^2-x^4)dx$$ $$=\frac{3}{8}{\left[\frac{4x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^2=\frac{3}{8}\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right)$$ $$=\frac{3}{8}\cdot \frac{32\cdot 5-32\cdot 3}{15}=\frac{3}{8}\cdot \frac{64}{15}=\frac{8}{5}$$

因此，质心坐标为 $\left(1,\frac{8}{5}\right)$。

例题4：转动惯量

题目：求半径为 $R$、质量为 $M$ 的均匀圆盘对通过中心且垂直于盘面的轴的转动惯量。

解： 建立极坐标系，圆盘的方程为 $r\le R$，面密度为 $\rho =\frac{M}{\pi R^2}$。

对通过中心且垂直于盘面的轴（即 $z$ 轴）的转动惯量为：

$$I_z={\iint }_D{r}^2\rho dxdy$$

使用极坐标变换：

$$I_z={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^R{r}^2\cdot \frac{M}{\pi R^2}\cdot rdrd\theta =\frac{M}{\pi R^2}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^R{r}^{3}dr$$ $$=\frac{M}{\pi R^2}\cdot 2\pi \cdot {\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^R=\frac{2M}{R^2}\cdot \frac{R^4}{4}=\frac{M{R}^2}{2}$$

例题5：液体压力

题目：一个半径为 $R$ 的半圆形闸门垂直放置在水中，直径在水面上。求闸门所受的水压力。

解： 建立坐标系，使圆心在原点，直径在 $x$ 轴上，闸门在 $y\le 0$ 的半平面内。

闸门的方程为：$x^2+y^2=R^2$ （$y\le 0$）

在深度 $|y|$ 处，水的压强为 $p=\rho g|y|$，其中 $\rho$ 是水的密度。

闸门所受的总压力为：

$$F={\iint }_D\rho g|y|dxdy=\rho g{\iint }_D(-y)dxdy$$

其中 $D=\{(x,y):x^2+y^2\le R^2,y\le 0\}$

$$F=-\rho g{\int }_{-R}^0{\int }_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}}ydxdy$$ $$=-\rho g{\int }_{-R}^{0}y\cdot 2\sqrt{R^2-y^2}dy$$ $$=-2\rho g{\int }_{-R}^{0}y\sqrt{R^2-y^2}dy$$

使用换元 $u=R^2-y^2$，$du=-2ydy$： 当 $y=-R$ 时，$u=0$；当 $y=0$ 时，$u=R^2$

$$F=-2\rho g{\int }_0^{R^2}\sqrt{u}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)du=\rho g{\int }_0^{R^2}\sqrt{u}du$$ $$=\rho g{\left[\frac{2u^{3/2}}{3}\right]}_0^{R^2}=\rho g\cdot \frac{2(R^2{)}^{3/2}}{3}=\frac{2\rho g{R}^3}{3}$$