84 多元函数微分在几何上的应用
空间曲线的切线和法平面
参数方程表示的曲线
设空间曲线 L 的参数方程为：
⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)
在曲线某点 P0(x0,y0,z0) 对应参数值 t0，即 x0=x(t0)，y0=y(t0)，z0=z(t0)。
切向量
在点 P0 处的切向量为：
T=(x′(t0),y′(t0),z′(t0))
注意：只有当 T=0 时该点存在切线。
切线方程
过点 P0(x0,y0,z0) 且以 T=(x′(t0),y′(t0),z′(t0)) 为方向向量的切线方程为：
x′(t0)x−x0=y′(t0)y−y0=z′(t0)z−z0
特殊情况：如果某个分量的导数为零，则对应的分子也应为零。例如，若 x′(t0)=0，则切线方程为 x=x0 且 y′(t0)y−y0=z′(t0)z−z0。
法平面方程
过点 P0(x0,y0,z0) 且与曲线在该点切线垂直的平面称为法平面。
法平面的法向量即为切向量 T，因此法平面方程为：
x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0
一般方程（交线）表示的曲线
设空间曲线 L 是两个曲面的交线：
{F1(x,y,z)=0F2(x,y,z)=0
考虑曲线上一点 P0(x0,y0,z0)。
切向量的求法
曲线在 P0 处的切向量垂直于两个曲面在该点的法向量（即梯度向量）：
- n1=∇F1∣P0=(∂x∂F1,∂y∂F1,∂z∂F1)P0
- n2=∇F2∣P0=(∂x∂F2,∂y∂F2,∂z∂F2)P0
因此，切向量 T 可以从这两个法向量的叉乘得到：
T=n1×n2=∇F1×∇F2=i∂x∂F1∂x∂F2j∂y∂F1∂y∂F2k∂z∂F1∂z∂F2P0
切线和法平面方程
确定切向量 T=(Tx,Ty,Tz) 后：
切线方程：
Txx−x0=Tyy−y0=Tzz−z0
法平面方程：
Tx(x−x0)+Ty(y−y0)+Tz(z−z0)=0
曲面的切平面和法线
显式方程 z=f(x,y) 表示的曲面
可以将此曲面方程改写为隐式形式 F(x,y,z)=f(x,y)−z=0。
在曲面上任意一点 P0(x0,y0,z0) 处（其中 z0=f(x0,y0)）：
法向量
曲面在该点的法向量 n 与函数 F(x,y,z)=0 在该点的梯度方向一致：
n=∇F∣P0=(∂x∂fP0,∂y∂fP0,−1)
即：n=(fx(x0,y0),fy(x0,y0),−1)
切平面方程
通过 P0(x0,y0,z0) 且以 n 为法向量的切平面方程为：
fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)−(z−z0)=0
或用另一种形式表示：
z−z0=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)
这个形式清楚地表明切平面是函数 f(x,y) 在点 (x0,y0) 处的线性近似。
法线方程
过点 P0(x0,y0,z0) 且方向向量为 n 的法线方程为：
fx(x0,y0)x−x0=fy(x0,y0)y−y0=−1z−z0
隐式方程 F(x,y,z)=0 表示的曲面
在曲面上任意一点 P0(x0,y0,z0) 处：
法向量
曲面在该点的法向量即为函数 F(x,y,z) 在该点的梯度：
n=∇F∣P0=(∂x∂FP0,∂y∂FP0,∂z∂FP0)
即：n=(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))
切平面方程
切平面方程为：
Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0
法线方程
法线方程为：
Fx(x0,y0,z0)x−x0=Fy(x0,y0,z0)y−y0=Fz(x0,y0,z0)z−z0
特殊情况处理：
- 如果某个偏导数为零，例如 Fx(x0,y0,z0)=0 但 Fy,Fz 不全为零，则法线方程可表示为：
x=x0,Fy(x0,y0,z0)y−y0=Fz(x0,y0,z0)z−z0
- 如果梯度为零向量，则该点为奇点，切平面不存在。
参数方程表示的曲面
设曲面的参数方程为：
⎩⎨⎧x=x(u,v)y=y(u,v)z=z(u,v)
在曲面上点 P0 对应参数值 (u0,v0)。
法向量
曲面在该点的两个切向量为：
- ru=(xu(u0,v0),yu(u0,v0),zu(u0,v0))
- rv=(xv(u0,v0),yv(u0,v0),zv(u0,v0))
法向量为这两个切向量的叉乘：
n=ru×rv=ixuxvjyuyvkzuzv(u0,v0)
切平面和法线方程
设 n=(A,B,C)，则：
切平面方程：
A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0
法线方程：
Ax−x0=By−y0=Cz−z0
典型例题
例1：求空间曲线的切线和法平面
题目：求曲线 ⎩⎨⎧x=t2y=t3z=t 在点 (1,1,1) 处的切线方程和法平面方程。
解：
点 (1,1,1) 对应参数 t=1。
切向量：T=(x′(1),y′(1),z′(1))=(2t,3t2,1)∣t=1=(2,3,1)
切线方程：
2x−1=3y−1=1z−1
法平面方程：
2(x−1)+3(y−1)+1(z−1)=0
即：2x+3y+z−6=0
例2：求曲面的切平面和法线
题目：求曲面 z=x2+y2 在点 (1,2,5) 处的切平面方程和法线方程。
解：
设 f(x,y)=x2+y2，则：
- fx=2x，fy=2y
- 在点 (1,2) 处：fx(1,2)=2，fy(1,2)=4
法向量：n=(2,4,−1)
切平面方程：
2(x−1)+4(y−2)−(z−5)=0
即：2x+4y−z−5=0
法线方程：
2x−1=4y−2=−1z−5
例3：求两曲面交线的切线
题目：求曲面 x2+y2+z2=6 和 x+y+z=0 的交线在点 (1,−2,1) 处的切线方程。
解：
设 F1(x,y,z)=x2+y2+z2−6，F2(x,y,z)=x+y+z
在点 (1,−2,1) 处：
- ∇F1=(2x,2y,2z)∣(1,−2,1)=(2,−4,2)
- ∇F2=(1,1,1)
切向量：
T=∇F1×∇F2=i21j−41k21=(−6,0,6)
简化为 T=(−1,0,1)
切线方程：
−1x−1=0y−(−2)=1z−1
即：x−1=z−1，y=−2，可写成：
{x=zy=−2