72 幂级数

幂级数

概念

定义

设 $x_0$ 为常数，函数项级数

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0{)}^2+\cdots +a_n(x-x_0{)}^n+\cdots$$

称为幂级数。其中，$a_n$ 为常数，称为幂级数的系数。

特别地，当 $x_0=0$ 时，幂级数变为：

$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$$

阿贝尔定理

若幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 在点 $x=x_1$ 处收敛，则对于满足 $|x-x_0|<|x_1-x_0|$ 的一切 $x$，该幂级数都绝对收敛。

若幂级数在点 $x=x_2$ 处发散，则对于满足 $|x-x_0|>|x_2-x_0|$ 的一切 $x$，该幂级数都发散。

收敛域

具体型

对于任何一个幂级数，收敛半径$R$ 满足 $0\le R\le +\infty$。

1. 若 $R=0$，则幂级数只在 $x=x_0$ 处收敛。
2. 若 $R=+\infty$，则幂级数在整个数轴 $(-\infty ,+\infty )$ 上收敛。
3. 若 $0<R<+\infty$，则幂级数在开区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 内绝对收敛，在开区间外发散。在端点 $x=x_0-R$ 和 $x=x_0+R$ 处，需要分别对级数进行判别，可能收敛也可能发散。
   • 求收敛半径 $R$ 的方法： 若 ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$ 或 ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=L$，则：
     • 当 $L\ne 0$ 时，$R=\frac{1}{L}$。
     • 当 $L=0$ 时，$R=+\infty$。
     • 当 $L=+\infty$ 时，$R=0$。
   • 收敛域：是开区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 以及可能包含的端点 $x_0-R,x_0+R$ 所构成的区间。

抽象型

幂级数的收敛域总是一个以 $x_0$ 为中心的区间，称为收敛区间，其长度是 $2R$。在此区间内，幂级数收敛，在其外部发散。端点处需单独检验。

函数展开为幂级数

概念

如果函数 $f(x)$ 在某开区间内具有直到 $n$ 阶导数，则可将其在该开区间内的某点 $x_0$ 处写成泰勒公式：

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$$

其中 $R_n(x)$ 是余项。

当 $R_n(x)\to 0$（当 $n\to \infty$）时，我们称函数 $f(x)$ 可以展开为以 $x_0$ 为中心的泰勒级数：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

特别地，当 $x_0=0$ 时，上式称为麦克劳林级数：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

重要展开式

以下给出一些常用的麦克劳林级数展开式及其收敛域：

1. $e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$, $x\in (-\infty ,+\infty )$
2. $\sin x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$, $x\in (-\infty ,+\infty )$
3. $\cos x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$, $x\in (-\infty ,+\infty )$
4. $\frac{1}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+x^3+\cdots$, $x\in (-1,1)$ （几何级数）
5. $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$, $x\in (-1,1]$
6. $(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\cdots$, $x\in (-1,1)$ （二项式级数）
   • 当 $\alpha$ 为正整数时，为有限项多项式。
   • 当 $\alpha >0$ 且非整数时，收敛域为 $[-1,1]$。
   • 当 $-1<\alpha <0$ 时，收敛域为 $(-1,1]$。
   • 当 $\alpha \le -1$ 时，收敛域为 $(-1,1)$。
7. $\arctan x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$, $x\in [-1,1]$

求法

直接法

根据泰勒级数（或麦克劳林级数）展开的定义，先求出函数 $f(x)$ 在 $x_0$（或 $0$）处的各阶导数，然后代入公式：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$$

此方法适用于求给定函数在特定点处的泰勒级数展开。

间接法

利用已知的幂级数展开式（如上面列出的重要展开式），以及幂级数求和函数的性质，通过代换、四则运算、逐项求导或逐项积分来得到新函数的幂级数展开式。

例如：

1. 变量代换法：将已知级数中的 $x$ 替换为某个函数 $g(x)$。
   • 例：求 $e^{-x^2}$ 的展开式，可将 $e^u$ 中的 $u$ 替换为 $-x^2$。
2. 逐项求导法：对和函数 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 在收敛区间内可逐项求导，其导数级数的收敛半径不变。
   • $S^{\prime }(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-x_0{)}^{n-1}$
3. 逐项积分法：对和函数 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 在收敛区间内可逐项积分，其积分级数的收敛半径不变。
   • ${\int }_{x_0}^{x}S(t)dt={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}(x-x_0{)}^{n+1}$
4. 四则运算：两个幂级数在共同的收敛区间内可以进行加减乘运算。
   • $\sum a_n{x}^n\pm \sum b_n{x}^n=\sum (a_n\pm b_n)x^n$
   • $(\sum a_n{x}^n)(\sum b_n{x}^n)=\sum ({\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k})x^n$

幂级数求和函数

概念

设幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$ 的收敛半径为 $R>0$，则在收敛区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 内，级数收敛于一个函数 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$。这个函数 $S(x)$ 就称为幂级数的和函数。求幂级数的和函数就是将级数用一个初等函数表示出来。

运算法则

在收敛区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 内，幂级数的和函数 $S(x)$ 除了具有逐项求导和逐项积分的性质外，幂级数本身还可以进行代数运算：

若幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 与 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n$ 的收敛半径分别为 $R_a$ 和 $R_b$，则在公共收敛区间 $|x|<R=\min \{R_a,R_b\}$ 内：

• 数乘：$k{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n={\sum }_{n=0}^{\infty }k{a}_n{x}^n$，其中 $k$ 为常数。
• 加减：${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\pm {\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n={\sum }_{n=0}^{\infty }(a_n\pm b_n)x^n$。
• 乘法（柯西乘积）：$\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n\right)\left({\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_n{x}^n\right)={\sum }_{n=0}^{\infty }\left({\sum }_{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k}\right)x^n$。

实际运算中，为了方便进行加减等运算（特别是在合并两个幂级数时），可能需要调整幂级数的起始 $n$ 值或 $x^n$ 的幂次，使得它们能够对齐。常用的恒等变形方法如下：

1. 整体平移下标（重命名求和变量）： 通过改变求和变量，将级数的起始下标和通项中的下标同步平移，以统一 $x$ 的幂次或起始值。 例如：${\sum }_{n=k}^{\infty }{a}_n{x}^n={\sum }_{n=k+l}^{\infty }{a}_{n-l}{x}^{n-l}$，其中 $l$ 为整数。 此变换的实质是引入新变量 $j=n-l$，则 $n=j+l$。当原 $n$ 从 $k$ 开始时，新 $j$ 从 $k-l$ 开始。所以原式变为 ${\sum }_{j=k-l}^{\infty }{a}_{j+l}{x}^{j+l}$。上式中则是将 $x^n$ 的幂次调整为 $x^{n-l}$ 的形 式，从而导致系数和起始下标也相应调整。

2. 分离起始项： 当两个幂级数相加，但它们的起始下标或 $x$ 的幂次不同时，可以将其中一个幂级数的前几项分离出来，使得剩余部分的求和起始下标和 $x$ 的幂次与另一个幂级数对齐。 例如：${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=a_0{x}^0+a_1{x}^1+\cdots +a_{k-1}{x}^{k-1}+{\sum }_{n=k}^{\infty }{a}_n{x}^n$。

3. 提取 $x$ 的公因子： 将 $x$ 的某个幂次因子提取到求和符号外，以改变求和符号内的 $x$ 的幂次。 例如：${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=x^l{\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{n-l}$。

实例演示： 例如，将级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}+{\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_{n+1}{x}^{2n+2}$ 合并为一个幂级数。

• 步骤一：调整幂次。 首先，观察第二个级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{b}_{n+1}{x}^{2n+2}$。为了将其与第一个级数统一为 $x^{2k}$ 的形式，我们可以令新变量 $k=n+1$。 那么 $n=k-1$。当 $n=0$ 时， $k=1$。 所以，第二个级数变为 ${\sum }_{\mathbf{k}=1}^{\infty }{b}_{(k-1)+1}{x}^{2(k-1)+2}={\sum }_{k=1}^{\infty }{b}_k{x}^{2k}$。 （为保持符号一致性，我们将求和变量 $k$ 重新写为 $n$） 原式变为：${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n{x}^{2n}$。

• 步骤二：调整起始下标。 现在两个级数都具有 $x^{2n}$ 的形式，但第一个级数从 $n=0$ 开始，第二个从 $n=1$ 开始。为了合 并，我们将第一个级数的 $n=0$ 项分离出来： ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}=a_0{x}^0+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}$。

• 步骤三：合并级数。 现在可以将原式写为： $a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n{x}^{2n}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n{x}^{2n}$ 由于两个求和部分的起始下标和 $x$ 的幂次都相同，可以合并它们的系数： $=a_0+{\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)x^{2n}$。

通过以上步骤，成功将两个不同形式的幂级数合并成了一个统一的幂级数表达。

性质

在收敛区间 $(x_0-R,x_0+R)$ 内，幂级数的和函数 $S(x)$ 具有以下重要性质：

1. 连续性：和函数 $S(x)$ 在该开区间内连续。
2. 可微性：和函数 $S(x)$ 在该开区间内可任意次求导，且各阶导数都可以通过对原幂级数逐项求导得到，所得到的导数级数与原级数有相同的收敛半径（但是收敛域可能扩大）。 $$S^{(k)}(x)=\sum _{n=k}^{\infty }n(n-1)\cdots (n-k+1)a_n(x-x_0{)}^{n-k}$$
3. 可积性：和函数 $S(x)$ 在该开区间内可积，其积分可以通过对原幂级数逐项积分得到，所得到的积分级数与原级数有相同的收敛半径。
4. 唯一性：如果一个函数能在某点 $x_0$ 的某个邻域内展开成幂级数，则其展开式是唯一的，即系数 $a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ 是唯一的。
5. 阿贝尔第二定理：若幂级数在收敛区间的一个端点 $x_0+R$（或 $x_0-R$）处收敛，则其和函数在该端点处连续。 例如：若 $\sum a_n{R}^n$ 收敛，则 $S(x)\to \sum a_n{R}^n$ 当 $x\to (x_0+R{)}^{-}$ 时。