63 重积分的应用

几何应用

平面图形的面积

设平面区域 $D$ 的面积为 $S$，则：

$$S={\iint }_{D}dxdy$$

极坐标形式：

$$S={\iint }_{D}rdrd\theta$$

空间立体的体积

用二重积分求体积

设立体由曲面 $z=f(x,y)$（$f(x,y)\ge 0$）、$z=0$ 和柱面围成，底面为区域 $D$，则体积为：

$$V={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$

一般情况：设立体在区域 $D$ 上方由曲面 $z=f_2(x,y)$ 围成，下方由曲面 $z=f_1(x,y)$ 围成，且 $f_2(x,y)\ge f_1(x,y)$，则：

$$V={\iint }_D[f_2(x,y)-f_1(x,y)]dxdy$$

用三重积分求体积

空间区域 $\Omega$ 的体积为：

$$V={\iiint }_{\Omega }dxdydz$$

曲面面积

显式曲面 $z=f(x,y)$

曲面 $z=f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的面积为：

$$S={\iint }_D\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}dxdy$$

参数曲面

设曲面的参数方程为：

$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v)\end{array},(u,v)\in D$$

曲面面积为：

$$S={\iint }_D|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|dudv$$

其中：

$${\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}=\left(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u}\right)$$ $${\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}=\left(\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v}\right)$$ $$|{\mathbf{r}}_{\mathbf{u}}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{v}}|=\sqrt{{\left(\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}\right)}^2+{\left(\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}\right)}^2+{\left(\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right)}^2}$$

隐式曲面 $F(x,y,z)=0$

当曲面可以表示为 $z=f(x,y)$ 时，转化为显式曲面求解。

当曲面不能显式表示时，利用隐函数定理：

$$S={\iint }_{D_{xy}}\frac{|\nabla F|}{|F_z|}dxdy$$

其中 $D_{xy}$ 是曲面在 $xOy$ 平面上的投影。

弧长

平面曲线弧长

参数方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$，$t\in [\alpha ,\beta ]$：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$

极坐标方程 $r=r(\theta )$，$\theta \in [\alpha ,\beta ]$：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta$$

空间曲线弧长

参数方程 $x=x(t)$，$y=y(t)$，$z=z(t)$，$t\in [\alpha ,\beta ]$：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}dt$$

物理应用

质量

平面薄片的质量

设平面薄片占据区域 $D$，面密度为 $\rho (x,y)$，则质量为：

$$m={\iint }_D\rho (x,y)dxdy$$

空间物体的质量

设空间物体占据区域 $\Omega$，体密度为 $\rho (x,y,z)$，则质量为：

$$m={\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dxdydz$$

曲线的质量

设曲线的线密度为 $\rho (x,y,z)$，则质量为：

$$m={\int }_L\rho (x,y,z)ds$$

其中 $ds$ 是弧长元素。

质心（重心）

平面薄片的质心

$$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho (x,y)dxdy}{{\iint }_D\rho (x,y)dxdy}=\frac{M_y}{m}$$ $$\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}y\rho (x,y)dxdy}{{\iint }_D\rho (x,y)dxdy}=\frac{M_x}{m}$$

其中：

• $M_x={\iint }_{D}y\rho (x,y)dxdy$ 是对 $x$ 轴的静矩
• $M_y={\iint }_{D}x\rho (x,y)dxdy$ 是对 $y$ 轴的静矩
• $m={\iint }_D\rho (x,y)dxdy$ 是总质量

均匀薄片（$\rho (x,y)={\rho }_0=$ 常数）：

$$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}xdxdy}{{\iint }_{D}dxdy},\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}ydxdy}{{\iint }_{D}dxdy}$$

空间物体的质心

$$\bar{x}=\frac{{\iiint }_{\Omega }x\rho (x,y,z)dxdydz}{{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dxdydz}$$ $$\bar{y}=\frac{{\iiint }_{\Omega }y\rho (x,y,z)dxdydz}{{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dxdydz}$$ $$\bar{z}=\frac{{\iiint }_{\Omega }z\rho (x,y,z)dxdydz}{{\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dxdydz}$$

转动惯量

平面薄片的转动惯量

对坐标轴的转动惯量：

• 对 $x$ 轴：$I_x={\iint }_D{y}^2\rho (x,y)dxdy$
• 对 $y$ 轴：$I_y={\iint }_D{x}^2\rho (x,y)dxdy$
• 对原点：$I_O={\iint }_D(x^2+y^2)\rho (x,y)dxdy$

关系：$I_O=I_x+I_y$

对任意轴的转动惯量： 设轴的方程为 $ax+by+c=0$（$a^2+b^2=1$），则：

$$I={\iint }_D(ax+by+c{)}^2\rho (x,y)dxdy$$

空间物体的转动惯量

对坐标轴的转动惯量：

• 对 $x$ 轴：$I_x={\iiint }_{\Omega }(y^2+z^2)\rho (x,y,z)dxdydz$
• 对 $y$ 轴：$I_y={\iiint }_{\Omega }(x^2+z^2)\rho (x,y,z)dxdydz$
• 对 $z$ 轴：$I_z={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)\rho (x,y,z)dxdydz$

对原点的转动惯量：

$$I_O={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)\rho (x,y,z)dxdydz$$

引力

质点对薄片的引力

设质量为 $m$ 的质点位于 $(x_0,y_0,z_0)$，薄片占据区域 $D$（在 $z=0$ 平面上），面密度为 $\rho (x,y)$。

引力的 $z$ 分量：

$$F_z=Gm{\iint }_D\frac{\rho (x,y)\cdot z_0}{[(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+z_0^2{]}^{3/2}}dxdy$$

其中 $G$ 是万有引力常数。

质点对空间物体的引力

类似地，可以用三重积分计算质点对空间物体的引力。

流体静压力

垂直平面壁受到的压力

设垂直平面壁的形状为区域 $D$，液体密度为 $\rho$，液面高度为 $h=0$，则壁面受到的总压力为：

$$P={\iint }_D\rho g|y|dxdy$$

其中 $y$ 是深度坐标（向下为正）。

倾斜平面壁受到的压力

需要考虑压力方向与壁面法向的关系，计算更为复杂。

典型例题

例1：计算平面图形面积

题目：求由曲线 $r=a(1+\cos \theta )$（心形线）围成的图形面积。

解：

心形线的完整图形对应 $\theta \in [0,2\pi ]$。

面积：

$$S={\iint }_{D}rdrd\theta ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{a(1+\cos \theta )}rdr$$ $$={\int }_0^{2\pi }{\left[\frac{r^2}{2}\right]}_0^{a(1+\cos \theta )}d\theta$$ $$={\int }_0^{2\pi }\frac{a^2(1+\cos \theta {)}^2}{2}d\theta$$ $$=\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }(1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta )d\theta$$ $$=\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(1+2\cos \theta +\frac{1+\cos 2\theta }{2}\right)d\theta$$ $$=\frac{a^2}{2}{\int }_0^{2\pi }\left(\frac{3}{2}+2\cos \theta +\frac{\cos 2\theta }{2}\right)d\theta$$ $$=\frac{a^2}{2}{\left[\frac{3\theta }{2}+2\sin \theta +\frac{\sin 2\theta }{4}\right]}_0^{2\pi }$$ $$=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{3\cdot 2\pi }{2}=\frac{3\pi a^2}{2}$$

例2：计算立体体积

题目：求由椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 围成的椭球体的体积。

解：

方法一：直角坐标

椭球体可表示为：

$$\Omega =\left\{(x,y,z)|\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1\right\}$$

利用对称性：

$$V=8{\iiint }_{{\Omega }_1}dxdydz$$

其中 ${\Omega }_1$ 是椭球体在第一卦限的部分。

$$V=8{\int }_0^{a}dx{\int }_0^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}dy{\int }_0^{c\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}}dz$$

这个积分计算较复杂。

方法二：坐标变换

令 $u=\frac{x}{a}$，$v=\frac{y}{b}$，$w=\frac{z}{c}$，则：

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=abc$$

椭球体变为单位球：$u^2+v^2+w^2\le 1$

$$V={\iiint }_{u^2+v^2+w^2\le 1}abcdudvdw=abc\cdot \frac{4\pi }{3}=\frac{4\pi abc}{3}$$

例3：计算曲面面积

题目：求球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的表面积。

解：

方法一：直角坐标

上半球面：$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$，投影区域：$x^2+y^2\le a^2$

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$$ $$1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2=1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}=\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}$$

上半球面面积：

$$S_1={\iint }_{x^2+y^2\le a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}dxdy$$

使用极坐标：$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$

$$S_1={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a\frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\cdot rdr$$ $$=2\pi a{\int }_0^a\frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}dr$$

设 $u=a^2-r^2$，则 $du=-2rdr$，$rdr=-\frac{1}{2}du$

$$S_1=2\pi a{\int }_{a^2}^0\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{u}}du=\pi a{\int }_0^{a^2}{u}^{-1/2}du$$ $$=\pi a[2\sqrt{u}{]}_0^{a^2}=2\pi a^2$$

总表面积：$S=2S_1=4\pi a^2$

方法二：球坐标参数化

球面参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=a\sin \varphi \cos \theta \\ y=a\sin \varphi \sin \theta \\ z=a\cos \varphi \end{array}$$

其中 $0\le \varphi \le \pi$，$0\le \theta \le 2\pi$。

$${\mathbf{r}}_{\mathbf{\varphi }}=(a\cos \varphi \cos \theta ,a\cos \varphi \sin \theta ,-a\sin \varphi )$$ $${\mathbf{r}}_{\mathbf{\theta }}=(-a\sin \varphi \sin \theta ,a\sin \varphi \cos \theta ,0)$$ $$|{\mathbf{r}}_{\mathbf{\varphi }}\times {\mathbf{r}}_{\mathbf{\theta }}|=a^2\sin \varphi$$ $$S={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }{a}^2\sin \varphi d\varphi =2\pi a^2{\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi$$ $$=2\pi a^2[-\cos \varphi {]}_0^{\pi }=2\pi a^2[1-(-1)]=4\pi a^2$$

例4：计算质心

题目：求均匀半圆薄片 $x^2+y^2\le a^2$，$y\ge 0$ 的质心。

解：

由于半圆关于 $y$ 轴对称，$\bar{x}=0$。

只需计算 $\bar{y}$：

$$\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}ydxdy}{{\iint }_{D}dxdy}$$

分母（半圆面积）：${\iint }_{D}dxdy=\frac{\pi a^2}{2}$

分子：使用极坐标，$y=r\sin \theta$，$0\le r\le a$，$0\le \theta \le \pi$

$${\iint }_{D}ydxdy={\int }_0^{\pi }d\theta {\int }_0^{a}r\sin \theta \cdot rdr$$ $$={\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta {\int }_0^a{r}^{2}dr$$ $$={\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta \cdot \frac{a^3}{3}$$ $$=\frac{a^3}{3}[-\cos \theta {]}_0^{\pi }=\frac{a^3}{3}[1-(-1)]=\frac{2a^3}{3}$$

因此：

$$\bar{y}=\frac{\frac{2a^3}{3}}{\frac{\pi a^2}{2}}=\frac{2a^3}{3}\cdot \frac{2}{\pi a^2}=\frac{4a}{3\pi }$$

质心坐标：$\left(0,\frac{4a}{3\pi }\right)$

例5：计算转动惯量

题目：求均匀圆盘 $x^2+y^2\le a^2$ 对其中心的转动惯量。

解：

设圆盘的面密度为 $\rho$，对中心（原点）的转动惯量为：

$$I_O={\iint }_D(x^2+y^2)\rho dxdy$$

使用极坐标：$x^2+y^2=r^2$，$dxdy=rdrd\theta$

$$I_O=\rho {\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^2\cdot rdr$$ $$=\rho {\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^a{r}^{3}dr$$ $$=\rho \cdot 2\pi \cdot \frac{a^4}{4}=\frac{\pi \rho a^4}{2}$$

如果圆盘的总质量为 $m=\rho \pi a^2$，则：

$$I_O=\frac{\pi \rho a^4}{2}=\frac{m{a}^2}{2}$$

这就是著名的圆盘对其中心的转动惯量公式。

例6：流体压力计算

题目：一个半径为 $R$ 的半圆形闸门垂直放置在水中，直径在水面上。求闸门受到的水压力。

解：

建立坐标系：以直径为 $x$ 轴，$x$ 轴在水面上，$y$ 轴向下为正。

半圆形区域：$x^2+y^2\le R^2$，$y\ge 0$

水的密度为 $\rho$，重力加速度为 $g$，深度为 $y$ 处的压强为 $p=\rho gy$。

总压力：

$$P={\iint }_D\rho gydxdy$$

使用对称性，只需计算右半部分再乘以2：

$$P=2{\int }_0^{R}dx{\int }_0^{\sqrt{R^2-x^2}}\rho gydy$$ $$=2\rho g{\int }_0^{R}dx{\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^{\sqrt{R^2-x^2}}$$ $$=\rho g{\int }_0^R(R^2-x^2)dx$$ $$=\rho g{\left[R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^R$$ $$=\rho g\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)=\frac{2\rho g{R}^3}{3}$$

验证：也可以用质心方法。半圆的质心在 $\bar{y}=\frac{4R}{3\pi }$，面积为 $S=\frac{\pi R^2}{2}$，所以：

$$P=\rho g\bar{y}S=\rho g\cdot \frac{4R}{3\pi }\cdot \frac{\pi R^2}{2}=\frac{2\rho g{R}^3}{3}$$

结果一致。