61 二重积分

二重积分的概念与性质

定义与几何意义

• 定义： 设 $f(x,y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数，将 $D$ 任意分割成 $n$ 个小闭区域 $\Delta {\sigma }_i$，在每个 $\Delta {\sigma }_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，作和式 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$。若当所有小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，该和式的极限总存在且与分割方式、取点方式无关，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分，记作 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 或 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy$。 $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$
• 几何意义：
  • 若 $f(x,y)>0$，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$ 的值等于以区域 $D$ 为底，曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。
  • 若 $f(x,y)$ 可取正负，则二重积分是位于 $xy$ 平面上方（$f(x,y)>0$）的体积减去位于 $xy$ 平面下方（$f(x,y)<0$）的体积的代数和。

主要性质

1. 线性性质： $${\iint }_D[af(x,y)\pm bg(x,y)]d\sigma =a{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \pm b{\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$
2. 区域可加性： 若区域 $D$ 被有限条光滑曲线分为两个子区域 $D_1$ 和 $D_2$，则： $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma +{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma$$
3. 特殊被积函数：
   • 当 $f(x,y)\equiv 1$ 时，${\iint }_{D}1d\sigma =A_D$（$A_D$ 为区域 $D$ 的面积）。
4. 比较定理：
   • 若在 $D$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则 ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$。
   • 推论：$\left|{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \right|\le {\iint }_D|f(x,y)|d\sigma$。
5. 估值定理： 设 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值，$A_D$ 是 $D$ 的面积，则： $$m\cdot A_D\le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le M\cdot A_D$$
6. 中值定理： 设函数 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi ,\eta )$，使得： $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )\cdot A_D$$

二重积分的计算

利用直角坐标计算（化为二次积分）

将二重积分转化为两个定积分的累次计算。关键在于确定积分区域的边界和选择合适的积分次序。

• X- 型区域 (上下型): $D=\{(x,y)|a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\}$
  • 公式： ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$
  • 口诀： ” 先 y 后 x，内积 x 函外常数，y 限上下穿条线 ” (即固定 x，y 从下边界 ${\phi }_1(x)$ 穿到上边界 ${\phi }_2(x)$)。
• Y- 型区域 (左右型): $D=\{(x,y)|c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\}$
  • 公式： ${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx$
  • 口诀： ” 先 x 后 y，内积 y 函外常数，x 限左右穿条线 ” (即固定 y，x 从左边界 ${\psi }_1(y)$ 穿到右边界 ${\psi }_2(y)$)。
• 核心考点：交换积分次序
  1. 根据已知积分限画出积分区域 $D$。
  2. 重新描述区域 $D$：将原来的 X- 型区域描述为 Y- 型（或反之）。
  3. 写出新的二次积分表达式。对于复杂区域，可能需要将其分割成几个简单区域。

利用极坐标计算

• 适用情形：
  1. 积分区域是圆形、扇形、环形或其一部分，特别是边界涉及 $x^2+y^2=R^2$ 的情况。
  2. 被积函数含有 $x^2+y^2$ 或 $\frac{y}{x}$ 等形式。
• 坐标变换公式： $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$
• 面积元素： $dxdy=rdrd\theta$（千万不能忘记乘雅可比行列式的值 $r$）。
• 定限方法：
  • 极点在区域内部： 从极点（原点）引出射线，穿过区域 $D$。射线穿入的边界为 $r$ 的下限 $r_1(\theta )$，穿出的边界为 $r$ 的上限 $r_2(\theta )$。$\theta$ 的范围是射线扫过整个区域 $D$ 的角度变化范围 $[\alpha ,\beta ]$。 $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$
  • 极点在区域边界上或外部： 定限方法类似，注意 $r$ 的下限可能不是 0。

利用对称性与奇偶性简化计算

前提： 积分区域 $D$ 关于某坐标轴或原点对称。

区域 $D$ 的对称性	被积函数 $f(x,y)$ 的奇偶性	积分结果
关于 $y$ 轴对称	$f(-x,y)=-f(x,y)$ (关于 x 是奇函数)	${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =0$
关于 $y$ 轴对称	$f(-x,y)=f(x,y)$ (关于 x 是偶函数)	${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma$ ($D_1$ 是 $D$ 在 $y$ 轴右侧的部分)
关于 $x$ 轴对称	$f(x,-y)=-f(x,y)$ (关于 y 是奇函数)	${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =0$
关于 $x$ 轴对称	$f(x,-y)=f(x,y)$ (关于 y 是偶函数)	${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =2{\iint }_{D_2}f(x,y)d\sigma$ ($D_2$ 是 $D$ 在 $x$ 轴上方的部分)
关于原点对称	$f(-x,-y)=-f(x,y)$ (奇函数)	${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =0$

利用变量代换计算（数一要求）

• 变换： $x=x(u,v),y=y(u,v)$ 将 $xy$ 平面上的区域 $D$ 映射为 $uv$ 平面上的区域 $D^{\prime }$。
• 雅可比行列式 (Jacobian): $$J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial x}{\partial v}\\ \frac{\partial y}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right|$$
• 变换公式： $${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$$ 注： 极坐标变换是其特例，$u=r,v=\theta$，$J=r$。

二重积分的应用

几何应用

1. 曲顶柱体的体积： 底为 $D$，顶为 $z=f(x,y)$ ($f(x,y)\ge 0$) $$V={\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$ 若体积由 $z=z_2(x,y)$ (上) 和 $z=z_1(x,y)$ (下) 所围成，在 $xy$ 平面上的投影区域为 $D$，则 $$V={\iint }_D[z_2(x,y)-z_1(x,y)]d\sigma$$
2. 平面区域的面积： $$A={\iint }_{D}1d\sigma$$

物理应用

设平面薄片占据区域 $D$，其面密度函数为 $\rho (x,y)$。

1. 质量： $$M={\iint }_D\rho (x,y)d\sigma$$
2. 形心坐标 $(\bar{x},\bar{y})$：
   • 对 $y$ 轴的静力矩： $M_y={\iint }_{D}x\rho (x,y)d\sigma$
   • 对 $x$ 轴的静力矩： $M_x={\iint }_{D}y\rho (x,y)d\sigma$
   • 形心坐标： $\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{{\iint }_{D}x\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma }$, $\bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{{\iint }_{D}y\rho (x,y)d\sigma }{{\iint }_D\rho (x,y)d\sigma }$
   • 若密度均匀，$\rho (x,y)$ 为常数，可约去。
3. 转动惯量：
   • 对 $x$ 轴的转动惯量： $I_x={\iint }_D{y}^2\rho (x,y)d\sigma$
   • 对 $y$ 轴的转动惯量： $I_y={\iint }_D{x}^2\rho (x,y)d\sigma$
   • 对原点的转动惯量 (极转动惯量)： $I_O={\iint }_D(x^2+y^2)\rho (x,y)d\sigma =I_x+I_y$

三重积分

三重积分的概念与性质

• 定义: 设函数 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^3$ 上有界，将 $\Omega$ 任意分割成 $n$ 个小闭区域 $\Delta V_i$，其体积为 $\Delta v_i$，在 $\Delta V_i$ 上任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作和 ${\sum }_{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$。若当各小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，该和式的极限总存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在区域 $\Omega$ 上的三重积分，记作 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv$ 或 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz$。 $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta v_i$$
• 物理意义: 若 $f(x,y,z)$ 是 $\Omega$ 的密度函数，则 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv$ 为该物体的质量。
• 几何意义: 当 $f(x,y,z)=1$ 时，${\iiint }_{\Omega }dv$ 为积分区域 $\Omega$ 的体积。
• 性质:
  • 线性性质: ${\iiint }_{\Omega }[kf(x,y,z)\pm lg(x,y,z)]dv=k{\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv\pm l{\iiint }_{\Omega }g(x,y,z)dv$。
  • 区域可加性: 若 $\Omega ={\Omega }_1\cup {\Omega }_2$ 且 ${\Omega }_1,{\Omega }_2$ 不相交（除边界外），则 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iiint }_{{\Omega }_1}f(x,y,z)dv+{\iiint }_{{\Omega }_2}f(x,y,z)dv$。
  • 估值定理: 若 $m\le f(x,y,z)\le M$，则 $m\cdot V\le {\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv\le M\cdot V$，其中 $V$ 是 $\Omega$ 的体积。
  • 中值定理: 若 $f(x,y,z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上连续，则至少存在一点 $(\xi ,\eta ,\zeta )\in \Omega$，使得 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=f(\xi ,\eta ,\zeta )\cdot V$。

直角坐标系下的计算

• 方法: 化为三次定积分。关键在于正确地定出积分限。
• 投影法 (先一后二):
  1. “穿针”定上下限: 将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面得区域 $D_{xy}$。对于 $D_{xy}$ 内任意一点 $(x,y)$，作平行于 $z$ 轴的直线，穿过区域 $\Omega$。设直线从下曲面 $z=z_1(x,y)$ 穿入，从上曲面 $z=z_2(x,y)$ 穿出。则 $z$ 的积分限为 $[z_1(x,y),z_2(x,y){]}_{.}$
  2. “压缩”求二重积分: 将 $\Omega$ “压缩”到 $xOy$ 平面上，得到投影区域 $D_{xy}$，计算二重积分 ${\iint }_{D_{xy}}[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz]dxdy$。
  $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iint }_{D_{xy}}\left({\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right)dxdy$$
• 切片法 (先二后一):
  1. “切片”定积分限: 用平行于坐标面的平面（如 $z=c$）去截积分区域 $\Omega$。确定 $z$ 的变化范围 $[z_{min},z_{max}]$。
  2. 计算截面面积: 对于任意 $z\in [z_{min},z_{max}]$，截面是一个二维区域 $A(z)$。被积函数变为关于 $x,y$ 的函数，在截面 $A(z)$ 上计算二重积分 $S(z)={\iint }_{A(z)}f(x,y,z)dxdy$。
  3. 对截面面积积分: 对 $S(z)$ 在 $[z_{min},z_{max}]$ 上进行定积分。
  $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\int }_{z_{min}}^{z_{max}}\left({\iint }_{A(z)}f(x,y,z)dxdy\right)dz$$

变量代换

柱面坐标 (Cylindrical Coordinates)

• 适用场景: 积分区域 $\Omega$ 的边界或其在 $xOy$ 平面上的投影 $D_{xy}$ 是圆形或扇形，或者被积函数含有 $x^2+y^2$。
• 坐标变换关系: $$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \\ z=z\end{array}$$
• 雅可比行列式: $|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}|=r$。
• 体积元: $dv=dxdydz=rdrd\theta dz$。
• 积分转换: $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta ,z)rdrd\theta dz$$ 其中 ${\Omega }^{\prime }$ 是变换后 $(r,\theta ,z)$ 所在的区域。通常的积分次序是先对 $z$ 积分，然后对 $r$ 和 $\theta$ 作二重积分。

球面坐标 (Spherical Coordinates)

• 适用场景: 积分区域 $\Omega$ 是球体、球壳、锥体（顶点在原点）等，或者被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$。
• 坐标变换关系: $$\{\begin{array}{l}x=r\sin \phi \cos \theta \\ y=r\sin \phi \sin \theta \\ z=r\cos \phi \end{array}$$ 其中：
  • $r$ 是点 $(x,y,z)$ 到原点的距离， $r\ge 0$。
  • $\phi$ 是向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $z$ 轴正向的夹角（倾斜角、天顶角）, $0\le \phi \le \pi$。
  • $\theta$ 是点 $(x,y,z)$ 在 $xOy$ 平面上的投影与 $x$ 轴正向的夹角（方位角），$0\le \theta \le 2\pi$。
• 重要关系: $x^2+y^2+z^2=r^2$。
• 雅可比行列式: $|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\phi ,\theta )}|=r^2\sin \phi$。
• 体积元: $dv=dxdydz=r^2\sin \phi drd\phi d\theta$。
• 积分转换: $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f(r\sin \phi \cos \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \phi )r^2\sin \phi drd\phi d\theta$$ 其中 ${\Omega }^{\prime }$ 是变换后 $(r,\phi ,\theta )$ 所在的区域，通常为长方体，积分限为常数，易于计算。

对称性与轮换对称性的应用

• 奇偶对称性:
  • 设积分区域 $\Omega$ 关于某坐标面对称（如 $xOy$ 面，$z=0$）。
  • 奇函数: 若 $f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$（关于 $z$ 是奇函数），则 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=0$。
  • 偶函数: 若 $f(x,y,-z)=f(x,y,z)$（关于 $z$ 是偶函数），则 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv=2{\iiint }_{{\Omega }_z^{+}}f(x,y,z)dv$，其中 ${\Omega }_z^{+}$ 是 $\Omega$ 在 $z\ge 0$ 的部分。
• 轮换对称性:
  • 条件:
    1. 积分区域 $\Omega$ 关于 $y=x$ 对称 (即若 $(x,y,z)\in \Omega$, 则 $(y,x,z)\in \Omega$ )。
    2. 被积函数 $f(x,y,z)$ 满足轮换关系，例如 $f(x,y,z)$ 与 $f(y,x,z)$ 互换变量后积分值相等。
  • 结论: 如果积分区域 $\Omega$ 关于 $x,y,z$ 的轮换具有对称性（例如 $\Omega$ 是球体 $x^2+y^2+z^2\le R^2$），则有： $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dv={\iiint }_{\Omega }f(y,z,x)dv={\iiint }_{\Omega }f(z,x,y)dv$$ 特别地，可以利用这个性质简化计算，如： $${\iiint }_{\Omega }(x^2+y)dv={\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dv+{\iiint }_{\Omega }ydv$$ 若 $\Omega$ 同时关于 $xOy$ 和 $yOz$ 平面对称，则 ${\iiint }_{\Omega }ydv=0$。若 $\Omega$ 对 $x,y,z$ 有轮换对称性，则 ${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dv={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dv={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dv$。因此， $${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dv=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dv$$ 这在计算转动惯量等物理量时非常有用。