54 方向导数与梯度

方向导数

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义，$\mathbf{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 是一个单位向量，其中 $\alpha$、$\beta$ 分别是 $\mathbf{l}$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的夹角。

如果极限

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}$$

存在，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $\mathbf{l}$ 的方向导数，记作：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}\text{或}{D}_{\mathbf{l}}f(x_0,y_0)$$

方向导数的计算公式

定理：如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，则 $f(x,y)$ 在该点沿任意方向 $\mathbf{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$ 的方向导数都存在，且有：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$

三元函数的方向导数

对于三元函数 $u=f(x,y,z)$，在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 沿方向 $\mathbf{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 的方向导数为：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}=f_x(x_0,y_0,z_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0,z_0)\cos \beta +f_z(x_0,y_0,z_0)\cos \gamma$$

其中 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$。

方向导数的向量表示

设单位方向向量 $\mathbf{e}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$，则：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta )=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{e}$$

梯度

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 可微，则称向量

$$\nabla f(x_0,y_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{P_0},\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{P_0}\right)=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0))$$

为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0$ 的梯度（gradient）。

记号：$\nabla f$ 或 $\text{grad }f$

三元函数的梯度

对于三元函数 $u=f(x,y,z)$，在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的梯度为：

$$\nabla f(x_0,y_0,z_0)=(f_x(x_0,y_0,z_0),f_y(x_0,y_0,z_0),f_z(x_0,y_0,z_0))$$

梯度的几何意义

1. 方向：梯度的方向是函数在该点增长最快的方向
2. 大小：梯度的模长等于函数在该点的最大方向导数值

方向导数与梯度的关系

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{e}=|\nabla f(x_0,y_0)|\cos \theta$$

其中 $\theta$ 是梯度向量与方向向量 $\mathbf{e}$ 的夹角。

重要结论：

1. 当 $\theta =0$（即方向与梯度方向一致）时，方向导数达到最大值 $|\nabla f|$
2. 当 $\theta =\pi$（即方向与梯度方向相反）时，方向导数达到最小值 $-|\nabla f|$
3. 当 $\theta =\frac{\pi }{2}$（即方向与梯度垂直）时，方向导数为 0

梯度的性质

设 $u=f(x,y)$，$v=g(x,y)$，$c$ 为常数，则：

1. 线性性：$\nabla (cu+v)=c\nabla u+\nabla v$
2. 乘积法则：$\nabla (uv)=u\nabla v+v\nabla u$
3. 商法则：$\nabla \left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\nabla u-u\nabla v}{v^2}$（$v\ne 0$）
4. 复合函数法则：若 $w=F(u)$，$u=f(x,y)$，则 $\nabla w=F^{\prime }(u)\nabla u$

梯度与等值线（等值面）

二元函数：梯度向量垂直于过该点的等值线，且指向函数值增大的方向。

三元函数：梯度向量垂直于过该点的等值面，且指向函数值增大的方向。

梯度的计算方法

直角坐标系

$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$

柱坐标系

设 $x=\rho \cos \varphi$，$y=\rho \sin \varphi$，$z=z$，则：

$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial \rho }{\mathbf{e}}_{\mathbf{\rho }}+\frac{1}{\rho }\frac{\partial f}{\partial \varphi }{\mathbf{e}}_{\mathbf{\varphi }}+\frac{\partial f}{\partial z}{\mathbf{e}}_{\mathbf{z}}$$

球坐标系

设 $x=r\sin \theta \cos \varphi$，$y=r\sin \theta \sin \varphi$，$z=r\cos \theta$，则：

$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial r}{\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta }{\mathbf{e}}_{\mathbf{\theta }}+\frac{1}{r\sin \theta }\frac{\partial f}{\partial \varphi }{\mathbf{e}}_{\mathbf{\varphi }}$$

应用

求函数的最大变化率

函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0$ 的最大变化率等于该点梯度的模长：

$$\max \frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{P_0}=|\nabla f(x_0,y_0)|$$

求切线和法线

对于曲线 $F(x,y)=0$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$：

• 法向量：$\nabla F(x_0,y_0)=(F_x(x_0,y_0),F_y(x_0,y_0))$
• 切向量：$(-F_y(x_0,y_0),F_x(x_0,y_0))$

求曲面的切平面和法线

对于曲面 $F(x,y,z)=0$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$：

• 法向量：$\nabla F(x_0,y_0,z_0)=(F_x,F_y,F_z){|}_{P_0}$
• 切平面方程：$F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0)=0$
• 法线方程：$\frac{x-x_0}{F_x}=\frac{y-y_0}{F_y}=\frac{z-z_0}{F_z}$

典型例题

例1：计算方向导数

题目：求函数 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在点 $(1,2)$ 沿从该点到点 $(2,6)$ 方向的方向导数。

解：

首先求梯度：

$$\nabla f=(2x,2y)$$

在点 $(1,2)$：$\nabla f(1,2)=(2,4)$

确定方向向量： 从 $(1,2)$ 到 $(2,6)$ 的向量为 $(1,4)$

单位方向向量：

$$\mathbf{e}=\frac{(1,4)}{\sqrt{1^2+4^2}}=\frac{(1,4)}{\sqrt{17}}=\left(\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}}\right)$$

方向导数：

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}{|}_{(1,2)}=\nabla f(1,2)\cdot \mathbf{e}=(2,4)\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{17}},\frac{4}{\sqrt{17}}\right)$$ $$=\frac{2\cdot 1+4\cdot 4}{\sqrt{17}}=\frac{18}{\sqrt{17}}=\frac{18\sqrt{17}}{17}$$

例2：求最大方向导数

题目：求函数 $f(x,y,z)=xyz$ 在点 $(1,2,3)$ 处的最大方向导数及其方向。

解：

梯度：

$$\nabla f=(yz,xz,xy)$$

在点 $(1,2,3)$：$\nabla f(1,2,3)=(6,3,2)$

最大方向导数：

$$|\nabla f(1,2,3)|=\sqrt{6^2+3^2+2^2}=\sqrt{49}=7$$

最大方向导数的方向（单位向量）：

$$\mathbf{e}=\frac{\nabla f(1,2,3)}{|\nabla f(1,2,3)|}=\frac{(6,3,2)}{7}=\left(\frac{6}{7},\frac{3}{7},\frac{2}{7}\right)$$

例3：梯度的几何应用

题目：求曲面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处的切平面方程和法线方程。

解：

设 $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14$

梯度（法向量）：

$$\nabla F=(2x,2y,2z)$$

在点 $(1,2,3)$：$\nabla F(1,2,3)=(2,4,6)$

简化法向量：$(1,2,3)$

切平面方程：

$$1\cdot (x-1)+2\cdot (y-2)+3\cdot (z-3)=0$$ $$x-1+2y-4+3z-9=0$$ $$x+2y+3z=14$$

法线方程：

$$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$$

例4：利用梯度求极值

题目：求函数 $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ 的驻点，并判断其性质。

解：

求梯度：

$$\nabla f=(3x^2-3y,3y^2-3x)$$

令 $\nabla f=0$：

$$\{\begin{array}{l}3x^2-3y=0\\ 3y^2-3x=0\end{array}$$

即：

$$\{\begin{array}{l}{x}^2=y\\ y^2=x\end{array}$$

将第一个方程代入第二个：$(x^2{)}^2=x$，即 $x^4=x$

解得：$x(x^3-1)=0$，所以 $x=0$ 或 $x=1$

当 $x=0$ 时，$y=0$；当 $x=1$ 时，$y=1$

驻点：$(0,0)$ 和 $(1,1)$

利用二阶偏导数判断：

$$f_{xx}=6x,f_{yy}=6y,f_{xy}=-3$$

在点 $(0,0)$：

$$A=f_{xx}(0,0)=0,B=f_{xy}(0,0)=-3,C=f_{yy}(0,0)=0$$ $$\Delta =AC-B^2=0-9=-9<0$$

所以 $(0,0)$ 是鞍点。

在点 $(1,1)$：

$$A=f_{xx}(1,1)=6,B=f_{xy}(1,1)=-3,C=f_{yy}(1,1)=6$$ $$\Delta =AC-B^2=36-9=27>0,A=6>0$$

所以 $(1,1)$ 是极小值点，极小值为 $f(1,1)=1+1-3=-1$。

例5：方向导数的物理应用

题目：某金属板的温度分布为 $T(x,y)=100-x^2-y^2$（单位：℃），一个质点从点 $(3,4)$ 开始运动。问：

1. 质点应沿什么方向运动，温度下降最快？
2. 沿该方向的温度变化率是多少？

解：

梯度：

$$\nabla T=(-2x,-2y)$$

在点 $(3,4)$：$\nabla T(3,4)=(-6,-8)$

1. 温度下降最快的方向是梯度的反方向：

   $$-\nabla T(3,4)=(6,8)$$

   单位方向向量：

   $$\mathbf{e}=\frac{(6,8)}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{(6,8)}{10}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$

2. 沿该方向的温度变化率（即最大下降率）：

   $$|\nabla T(3,4)|=\sqrt{(-6{)}^2+(-8{)}^2}=10\text{（℃/单位长度）}$$

   由于是下降方向，所以温度变化率为 $-10$ ℃/单位长度。