53 极限与最值

多元函数的极限

二重极限的定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$，使得对于任意给定的正数 $ϵ$，总存在正数 $\delta$，当点 $(x,y)$ 满足

$$0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$$

时，恒有 $|f(x,y)-A|<ϵ$，则称 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时的极限，记作：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$$

或

$$\underset{\begin{array}{c}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{\lim }f(x,y)=A$$

极限存在的条件

重要性质：二重极限存在的充要条件是沿任意路径趋于 $(x_0,y_0)$ 时的极限都存在且相等。

常用判断方法：

1. 路径法：选择不同路径，如果得到不同的极限值，则极限不存在
2. 极坐标法：令 $x-x_0=r\cos \theta$，$y-y_0=r\sin \theta$，考虑 $r\to 0$ 时的极限
3. 夹逼定理：利用不等式估计

常见的极限计算

基本极限

1. ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\sin (x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1$

2. ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{1-\cos (x^2+y^2)}{x^2+y^2}=0$

3. ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}=1$

典型的不存在极限

例：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$

沿直线 $y=kx$ 趋于原点：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cdot kx}{x^2+(kx{)}^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{k{x}^2}{x^2(1+k^2)}=\frac{k}{1+k^2}$$

由于不同的 $k$ 值给出不同的极限，所以原极限不存在。

多元函数的连续性

连续性定义

函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，当且仅当：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

连续性的性质

1. 连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续
2. 复合函数的连续性：连续函数的复合仍连续
3. 有界闭区域上连续函数的性质：
   • 有界性：在有界闭区域上连续的函数必有界
   • 最值性：在有界闭区域上连续的函数必能取到最大值和最小值
   • 一致连续性：在有界闭区域上连续的函数必一致连续

多元函数的最值问题

无条件极值

极值的定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于 $(x_0,y_0)$ 的任意点 $(x,y)$，恒有：

• $f(x,y)<f(x_0,y_0)$，则称 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极大值点
• $f(x,y)>f(x_0,y_0)$，则称 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的极小值点

极值的必要条件

费马定理：若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处取得极值，且偏导数存在，则：

$$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$$

满足上述条件的点称为驻点或临界点。

极值的充分条件

设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内具有二阶连续偏导数，且 $(x_0,y_0)$ 为驻点，记：

$$A=f_{xx}(x_0,y_0),B=f_{xy}(x_0,y_0),C=f_{yy}(x_0,y_0)$$ $$\Delta =AC-B^2$$

则：

1. 若 $\Delta >0$ 且 $A<0$，则 $(x_0,y_0)$ 为极大值点
2. 若 $\Delta >0$ 且 $A>0$，则 $(x_0,y_0)$ 为极小值点
3. 若 $\Delta <0$，则 $(x_0,y_0)$ 为鞍点（非极值点）
4. 若 $\Delta =0$，则无法判断，需进一步分析

条件极值

拉格朗日乘数法

求函数 $f(x,y)$ 在约束条件 $g(x,y)=0$ 下的极值。

方法：构造拉格朗日函数

$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda g(x,y)$$

令：

$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial L}{\partial x}=f_x+\lambda g_x=0\\ \frac{\partial L}{\partial y}=f_y+\lambda g_y=0\\ \frac{\partial L}{\partial \lambda }=g(x,y)=0\end{array}$$

解此方程组得到可能的极值点。

多个约束条件

求函数 $f(x,y,z)$ 在约束条件 $g_1(x,y,z)=0$ 和 $g_2(x,y,z)=0$ 下的极值。

构造拉格朗日函数：

$$L(x,y,z,{\lambda }_1,{\lambda }_2)=f(x,y,z)+{\lambda }_1{g}_1(x,y,z)+{\lambda }_2{g}_2(x,y,z)$$

最大值和最小值

有界闭区域上的最值

在有界闭区域 $D$ 上求连续函数 $f(x,y)$ 的最大值和最小值：

步骤：

1. 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 内部的所有驻点
2. 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界上的最值（通常转化为条件极值问题）
3. 比较所有候选点的函数值，确定最大值和最小值

实际应用中的最值问题

几何最值问题：

• 最短距离问题
• 最大面积、体积问题
• 最小表面积问题

经济最值问题：

• 利润最大化
• 成本最小化
• 效用最大化

典型例题

例题1：极限计算

题目：计算 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}$

解： 使用极坐标变换：$x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$

$$\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}=\frac{r^2{\cos }^2\theta \cdot r\sin \theta }{r^4{\cos }^4\theta +r^2{\sin }^2\theta }=\frac{r^3{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2(r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta )}=\frac{r{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2{\cos }^4\theta +{\sin }^2\theta }$$

当 $r\to 0$ 时：

• 若 $\sin \theta \ne 0$，则分母趋于 ${\sin }^2\theta >0$，分子趋于 $0$，所以极限为 $0$
• 若 $\sin \theta =0$（即沿 $x$ 轴），则原式 $=0$

因此 ${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^4+y^2}=0$

例题2：无条件极值

题目：求函数 $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ 的极值。

解： 第一步：求驻点

$$f_x=3x^2-3y=0\Rightarrow x^2=y$$ $$f_y=3y^2-3x=0\Rightarrow y^2=x$$

由 $x^2=y$ 和 $y^2=x$，得 $x^4=x$，即 $x(x^3-1)=0$ 所以 $x=0$ 或 $x=1$

当 $x=0$ 时，$y=0$；当 $x=1$ 时，$y=1$ 驻点为：$(0,0)$ 和 $(1,1)$

第二步：判断极值性质

$$f_{xx}=6x,f_{xy}=-3,f_{yy}=6y$$

对于点 $(0,0)$：

$$A=0,B=-3,C=0$$ $$\Delta =AC-B^2=0-9=-9<0$$

所以 $(0,0)$ 是鞍点。

对于点 $(1,1)$：

$$A=6,B=-3,C=6$$ $$\Delta =6\times 6-(-3{)}^2=36-9=27>0$$

且 $A=6>0$，所以 $(1,1)$ 是极小值点，极小值为 $f(1,1)=1+1-3=-1$。

例题3：条件极值

题目：求椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 上的点到原点距离的最大值和最小值。

解： 要求 $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ 在约束条件 $g(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$ 下的极值。

构造拉格朗日函数：

$$L=x^2+y^2+z^2+\lambda \left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1\right)$$

求偏导数并令其为零：

$$\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\frac{2\lambda x}{a^2}=0\Rightarrow x\left(1+\frac{\lambda }{a^2}\right)=0$$ $$\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\frac{2\lambda y}{b^2}=0\Rightarrow y\left(1+\frac{\lambda }{b^2}\right)=0$$ $$\frac{\partial L}{\partial z}=2z+\frac{2\lambda z}{c^2}=0\Rightarrow z\left(1+\frac{\lambda }{c^2}\right)=0$$

不失一般性，设 $a\ge b\ge c>0$。

可能的极值点为：

1. $(\pm a,0,0)$：$f=a^2$
2. $(0,\pm b,0)$：$f=b^2$
3. $(0,0,\pm c)$：$f=c^2$

因此，最大距离为 $a$（在点 $(\pm a,0,0)$），最小距离为 $c$（在点 $(0,0,\pm c)$）。

例题4：实际应用

题目：某工厂生产两种产品，产量分别为 $x$ 和 $y$，总成本函数为 $C(x,y)=x^2+xy+y^2+40$，两种产品的价格分别为 $p_1=100$ 和 $p_2=120$。求利润最大时的产量。

解： 收入函数：$R(x,y)=100x+120y$ 利润函数：$P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=100x+120y-x^2-xy-y^2-40$

求利润最大值：

$$\frac{\partial P}{\partial x}=100-2x-y=0$$ $$\frac{\partial P}{\partial y}=120-x-2y=0$$

解方程组： 从第一个方程：$y=100-2x$ 代入第二个方程：$120-x-2(100-2x)=0$ $120-x-200+4x=0$ $3x=80$ $x=\frac{80}{3}$

$y=100-2\times \frac{80}{3}=100-\frac{160}{3}=\frac{140}{3}$

验证这是最大值点：

$$P_{xx}=-2,P_{xy}=-1,P_{yy}=-2$$ $$\Delta =(-2)(-2)-(-1{)}^2=4-1=3>0$$

且 $P_{xx}=-2<0$，所以这是最大值点。

因此，当产量为 $x=\frac{80}{3}$，$y=\frac{140}{3}$ 时，利润最大。