33 反常积分

无穷区间的反常积分

• 定义与计算：

  • 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty )$ 上连续，则定义其反常积分为： $${\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx$$
  • 若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,b]$ 上连续，则定义其反常积分为： $${\int }_{-\infty }^{b}f(x)dx=\underset{a\to -\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx$$
  • 若函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上连续，则需将其拆分为两个反常积分之和： $${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_{-\infty }^{c}f(x)dx+{\int }_c^{+\infty }f(x)dx$$ 其中 $c$ 为任意实数。

• 收敛与发散：

  • 若上述定义中的极限存在且为有限值，则称该反常积分收敛。
  • 若极限不存在或为无穷大，则称该反常积分发散。
  • 对于 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$，当且仅当右侧两个积分均收敛时，它才收敛。

• 重要结论（p- 积分）：

  • 积分 ${\int }_a^{+\infty }\frac{1}{x^p}dx$ (其中 $a>0$)，当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。

无界函数的反常积分（瑕积分）

• 定义与计算：

  • 若函数 $f(x)$ 在 $[a,b)$ 上连续，且 ${\lim }_{x\to b^{-}}|f(x)|=+\infty$（称点 $b$ 为瑕点），则定义其反常积分为： $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^{b-\epsilon }f(x)dx$$
  • 若函数 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，且 ${\lim }_{x\to a^{+}}|f(x)|=+\infty$（称点 $a$ 为瑕点），则定义其反常积分为： $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$$
  • 若瑕点 $c\in (a,b)$，则需将积分拆分为两个瑕积分之和： $${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

• 收敛与发散：

  • 定义同上，若极限存在且为有限值则收敛，否则发散。
  • 当积分拆分时，当且仅当拆分后的每一部分都收敛时，原积分才收敛。

• 重要结论（p- 瑕积分）：

  • 积分 ${\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}dx$ 或 ${\int }_a^b\frac{1}{(b-x{)}^p}dx$，当 $p<1$ 时收敛，当 $p\ge 1$ 时发散。

反常积分的审敛法（主要用于被积函数为正的情形）

• 比较审敛法： 设在积分区间上 $0\le f(x)\le g(x)$。
  • 若 $\int g(x)dx$ 收敛，则 $\int f(x)dx$ 收敛。（大收则小收）
  • 若 $\int f(x)dx$ 发散，则 $\int g(x)dx$ 发散。（小发则大发）
• 极限比较审敛法（最常用）： 设在积分区间上 $f(x)\ge 0,g(x)>0$，且 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=L$（极限点为瑕点或无穷远点）。
  • 若 $0<L<+\infty$，则 $\int f(x)dx$ 与 $\int g(x)dx$ 具有相同的敛散性。
  • 若 $L=0$，且 $\int g(x)dx$ 收敛，则 $\int f(x)dx$ 收敛。
  • 若 $L=+\infty$，且 $\int g(x)dx$ 发散，则 $\int f(x)dx$ 发散。
  • 核心技巧： 判断敛散性时，通常将原函数与合适的 $p$- 积分或 $p$- 瑕积分进行比较。

绝对收敛与条件收敛

• 定义： 对于任意函数 $f(x)$ 的反常积分 $\int f(x)dx$：
  • 若 $\int |f(x)|dx$ 收敛，则称原积分绝对收敛。
  • 若 $\int f(x)dx$ 收敛，而 $\int |f(x)|dx$ 发散，则称原积分条件收敛。
• 定理： 若一个反常积分绝对收敛，则它必定收敛。

伽马函数 (Γ函数)

• 定义式： $$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{x}^{s-1}{e}^{-x}dx$$
• 收敛域： $s>0$。
• 重要性质：
  • 递推公式： $\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$ (当 $s>0$)。
  • 与阶乘的关系： 当 $n$ 为正整数时，$\Gamma (n+1)=n!$。同时约定 $\Gamma (1)=0!=1$。
  • 重要函数值： $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$。该值常用于与正态分布相关的计算。