22 导数应用

微分中值定理

罗尔定理

内容： 如果函数 $f(x)$ 满足 (1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；(2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导；(3) $f(a)=f(b)$，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。 几何意义： 曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一点，其切线是水平的。

拉格朗日定理

内容： 如果函数 $f(x)$ 满足 (1) 在闭区间 $[a,b]$ 上连续；(2) 在开区间 $(a,b)$ 内可导，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 或 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$。 几何意义： 曲线 $y=f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有一点，其切线平行于连接两端点的弦。 推论： 若在区间 $I$ 上 $f^{\prime }(x)\equiv 0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上为常数。

柯西定理

内容： 如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足 (1) 在闭区间 $[a,b]$ 上都连续；(2) 在开区间 $(a,b)$ 内都可导；(3) 对任意 $x\in (a,b)$，有 $g^{\prime }(x)\ne 0$，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$。 注意： 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当 $g(x)=x$ 时的特殊情况。

泰勒定理

作用： 用多项式逼近函数，进行近似计算和理论分析。

• 带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式（局部泰勒公式）： 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则在 $x_0$ 的一个邻域内，有： $f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n)$。 特别地，当 $x_0=0$ 时，称为麦克劳林公式。
• 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式（全局泰勒公式）： 若 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的区间 $[a,b]$ 上 $n+1$ 阶可导，则对任意 $x\in [a,b]$，有： $f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$，其中 $\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间。

联系

• 罗尔定理 是 拉格朗日定理 的特例（当 $f(a)=f(b)$ 时）。
• 拉格朗日定理 是 柯西定理 的特例（当 $g(x)=x$ 时）。
• 拉格朗日定理 是 泰勒公式 当 $n=0$ 时的特殊情况。
• 它们是微分学应用的核心，常用于证明不等式、确定根的存在性、讨论方程根的个数等。

极值与最值

极值概念

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任意异于 $x_0$ 的点 $x$，都有 $f(x)<f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值。反之，若 $f(x)>f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 是一个极小值。极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

极值的必要条件

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$。

注意：

1. 可导是前提，不可导点也可能是极值点，如 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处。
2. 导数为零的点是驻点（或稳定点）。驻点不一定是极值点，如 $y=x^3$ 在 $x=0$ 处。
3. 极值嫌疑点： 驻点和不可导点。

极值的充分条件

第一充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的去心邻域内可导。

• 若 $x$ 经过 $x_0$ 时，$f^{\prime }(x)$ 的符号由正变负，则 $f(x_0)$ 为极大值。
• 若 $x$ 经过 $x_0$ 时，$f^{\prime }(x)$ 的符号由负变正，则 $f(x_0)$ 为极小值。
• 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧符号不变，则 $f(x_0)$ 不是极值。

第二充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导，且 $f^{\prime }(x_0)=0$。

• 若 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$，则 $f(x_0)$ 为极大值。
• 若 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$，则 $f(x_0)$ 为极小值。
• 若 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$，则此方法失效，需用第一充分条件或第三充分条件判断。

第三充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{\prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，但 $f^{(n)}(x_0)\ne 0$。

• 若 $n$ 为偶数，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极值。
  • 当 $f^{(n)}(x_0)<0$ 时为极大值。
  • 当 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时为极小值。
• 若 $n$ 为奇数，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处没有极值。

函数的最值

求解步骤（对于闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数）：

1. 求出函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内的所有驻点和不可导点（即极值嫌疑点）。
2. 计算函数在这些嫌疑点处的函数值。
3. 计算函数在区间端点 $a$ 和 $b$ 处的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$。
4. 比较以上所有函数值，其中最大者为函数在 $[a,b]$ 上的最大值，最小者为最小值。

曲线的凹向与拐点

曲线的凹向

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导。

• 若曲线 $y=f(x)$ 在 $I$ 上任意一点的切线总位于曲线的下方，则称曲线是凹的（或凹向上的，concave up）。
• 若切线总位于曲线上方，则称曲线是凸的（或凹向下的，concave down）。 判别法： 设 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导。
• 若 $f^{\prime \prime }(x)>0$，则曲线是凹的。
• 若 $f^{\prime \prime }(x)<0$，则曲线是凸的。

曲线的拐点

定义

曲线上凹凸性发生改变的点称为拐点。

必要条件

若点 $(x_0,f(x_0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，且 $f^{\prime \prime }(x_0)$ 存在，则 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$。

拐点嫌疑点： $f^{\prime \prime }(x)=0$ 的点或 $f^{\prime \prime }(x)$ 不存在的点。

第一充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内二阶可导，若 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号，则点 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点。

第二充分条件

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处三阶可导，且 $f^{\prime \prime }(x_0)=0$，若 $f^{\prime \prime \prime }(x_0)\ne 0$，则点 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点。

第三充分条件

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{\prime \prime }(x_0)=\cdots =f^{(n-1)}(x_0)=0$，但 $f^{(n)}(x_0)\ne 0$。

• 若 $n$ 为奇数，则点 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点。
• 若 $n$ 为偶数，则点 $(x_0,f(x_0))$ 不是拐点。

拐点重要结论

1. 曲线可导点不能同时为极值点和拐点；但不可导点可以。（例 5.6）
2. 设多项式函数 $f(x)=(x-a{)}^{n}g(x)(n>1)$ 且 $g(a)\ne 0$ ：
   • 当 $n$ 为偶数， $x=a$ 是极值点；
   • 当 $n$ 为奇数， $(n,0)$ 为拐点。

多项式，可以把不想要的部分放进 $g(x)$

3. 设 $f(x)=(x-a_1{)}^{n_1}\cdots (x-a_k{)}^{n_k}$ ：记 $k_1$ 为 次方=1 的个数，记 $k_2$ 为 偶数次方 的个数，记 $k_3$ 为 奇数次方 的个数，则：
   • 极值点数为 $k_1+2k_2+k_3-1$ ；
   • 拐点数为 $k_1+2k_2+3k_3-2$ 。

曲线的渐近线

水平渐近线

若 ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$ 或 ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=B$（A, B 为常数），则直线 $y=A$ 或 $y=B$ 是曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线。

铅直渐近线

若 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=\infty$ 或 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=\infty$，则直线 $x=x_0$ 是曲线 $y=f(x)$ 的铅直渐近线。通常在函数定义域的间断点或开区间的端点处寻找。

斜渐近线

若 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}=k\ne 0$ 且 ${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-kx]=b$ 存在，则直线 $y=kx+b$ 是曲线 $y=f(x)$ 的斜渐近线。（需分别对 $x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$ 进行讨论）

平面曲线的曲率

曲率定义

曲率 $K$ 是描述曲线弯曲程度的量，定义为弧长 $s$ 的变化率引起的切线转角 $\alpha$ 的变化率，即 $K=\left|\frac{d\alpha }{ds}\right|$。直线的曲率为 0，圆的曲率为半径的倒数。

曲率计算

• 直角坐标方程 $y=f(x)$： $$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

• 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\varphi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$：

$$K=\frac{|{\varphi }^{\prime }(t){\psi }^{\prime \prime }(t)-{\varphi }^{\prime \prime }(t){\psi }^{\prime }(t)|}{[{\varphi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2{]}^{3/2}}$$

• 极坐标方程 $r=r(\theta )$：

$$K=\frac{|r^2+2r^{\prime 2}-r{r}^{\prime \prime }|}{(r^2+r^{\prime 2}{)}^{3/2}}$$

曲率圆与曲率半径

• 曲率半径 $R$： 曲率的倒数，即 $R=\frac{1}{K}$（当 $K\ne 0$ 时）。它表示在曲线上某一点密切吻合的圆的半径。
• 曲率圆： 在曲线上点 $P$ 处，与曲线有相同的切线和曲率的圆。该圆位于曲线的凹侧。
• 曲率中心（曲率圆的圆心）$\alpha$： 设曲线上点为 $(x,y)$，则曲率中心 $(\xi ,\eta )$ 可由下式求出：

$$\xi =x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }},\eta =y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}$$