隐函数与平面几何

隐函数、切向量与法平面的关系梳理

核心概念：梯度 (Gradient)

所有相关概念的推导都源于梯度。对于一个三元隐函数 $F(x,y,z)$，其梯度向量定义为该函数对各个变量的偏导数所组成的向量。

$$\nabla F=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)$$

梯度的核心几何意义：在函数 $F$ 的任意一个等值面（Level Surface）$F(x,y,z)=c$ 上，任意一点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的梯度向量 $\nabla F(P_0)$ 总是垂直于该点所在的等值面。

这个性质是连接代数函数与空间几何的桥梁。

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I. 空间曲面：由隐函数 $F(x,y,z)=c$ 定义

这是最常见的情况，我们分析一个由隐函数方程定义的空间三维曲面。

1.1 法向量 (Normal Vector)

根据梯度的核心几何意义，曲面上一点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的法向量 $\vec{N}$ 就是该点的梯度。

$$\vec{N}=\nabla F(x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{\partial F}{\partial x}{|}_{P_0},\frac{\partial F}{\partial y}{|}_{P_0},\frac{\partial F}{\partial z}{|}_{P_0}\right)$$

1.2 切平面 (Tangent Plane)

切平面是经过点 $P_0$ 且与法向量 $\vec{N}$ 垂直的平面。设法向量 $\vec{N}=(A,B,C)$，平面上任意一点 $P(x,y,z)$，则向量 $\overrightarrow{P_{0}P}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$ 与 $\vec{N}$ 垂直，即它们的点积为零。

$$\vec{N}\cdot \overrightarrow{P_{0}P}=0$$

由此得到切平面方程：

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

其中 $A,B,C$ 分别是在点 $P_0$ 处计算的 $\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}$。

1.3 法线 (Normal Line)

法线是经过点 $P_0$ 且以法向量 $\vec{N}$ 为方向向量的直线。

• 参数方程: $$\{\begin{array}{l}x=x_0+At\\ y=y_0+Bt\\ z=z_0+Ct\end{array}$$

* **对称式方程**: $$ \frac{x - x_0}{A} = \frac{y - y_0}{B} = \frac{z - z_0}{C}

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II. 空间曲线：由参数方程 $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$ 定义

此处的研究对象不同，是一条由参数定义的空间一维曲线。核心向量也随之改变。

2.1 切向量 (Tangent Vector)

空间曲线在一点 $P_0$（对应参数 $t_0$）的切向量 $\vec{\tau }$ 是其位置向量对参数 $t$ 的导数在该点的取值。

$$\vec{\tau }(t_0)={\vec{r}}^{\prime }(t_0)=\left(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0)\right)$$

2.2 法平面 (Normal Plane)

定义：法平面是在曲线上一点 $P_0$，与该点的切向量 $\vec{\tau }$ 相垂直的平面。

请注意这里的逻辑：法平面的法向量是曲线的切向量。这与隐函数曲面的情况相反。

设切向量 $\vec{\tau }(t_0)=(a,b,c)$，法平面上任意一点 $P(x,y,z)$，则向量 $\overrightarrow{P_{0}P}$ 与 $\vec{\tau }$ 垂直。

$$\vec{\tau }(t_0)\cdot \overrightarrow{P_{0}P}=0$$

由此得到法平面方程：

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

其中 $x_0=x(t_0),y_0=y(t_0),z_0=z(t_0)$，$a,b,c$ 分别是 $x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0)$。

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III. 总结归纳

几何对象	方程形式	核心基础向量	” 切 ” 相关对象	” 法 ” 相关对象
空间曲面	隐函数 $F(x,y,z)=c$	$\nabla F$ (法向量)	切平面 (过点, $\perp \nabla F$)	法向量 $\vec{N}=\nabla F$ 法线 (过点, $\Vert \nabla F$)
空间曲线	参数式 $\vec{r}(t)$	${\vec{r}}^{\prime }(t)$ (切向量)	切向量 $\vec{\tau }={\vec{r}}^{\prime }(t)$ 切线 (过点, $\Vert {\vec{r}}^{\prime }(t)$)	法平面 (过点, $\perp {\vec{r}}^{\prime }(t)$)