一元函数积分学的物理应用

变化率问题

定义：设某物理量 $Q(t)$ 随时间 $t$ 变化，其变化率为 $\frac{dQ}{dt}$，则在时间区间 $[a,b]$ 内的总变化量为：

$$\Delta Q={\int }_a^b\frac{dQ}{dt}dt$$

常用技巧：

1. 链导法则：若 $Q$ 通过中间变量 $x$ 与 $t$ 相关，则 $\frac{dQ}{dt}=\frac{dQ}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$
2. 微元法：取微小时间间隔 $dt$，计算 $dQ=\frac{dQ}{dt}dt$，再积分

水压力问题

定义：在深度 $h$ 处，水的压强 $p$ 为：

$$p=\rho gh$$

其中 $\rho$ 为液体密度，$g$ 为重力加速度。面积为 $A$ 的平板受到的总水压力为：

$$F={\int }_{A}pdA=\int \rho ghdA$$

微元法步骤：

1. 将平板分割为水平细条
2. 计算每个细条的面积微元 $dA$ 和深度 $h$
3. 积分求和

变力做功问题

定义：物体在变力 $F(x)$ 作用下沿 $x$ 轴从 $a$ 移动到 $b$ 时，做功为：

$$W={\int }_a^{b}F(x)dx$$

微元法：

1. 取位移微元 $dx$
2. 计算功微元 $dW=F(x)dx$
3. 积分求和

引力问题

万有引力定律：两个质点间的引力大小为：

$$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$$

其中 $G$ 为引力常数，$m_1,m_2$ 为质量，$r$ 为距离。

连续体引力计算：

1. 取质量微元 $dm$
2. 计算引力微元 $dF=G\frac{mdm}{r^2}$
3. 分解为分量形式（如 $x,y,z$ 方向）
4. 分别积分求各方向分量

注意：引力是矢量，计算时需考虑方向性，通常需要分解为分量形式再积分。