正定二次型

定义

定义：设 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$ 为一个 $n$ 元实二次型，其中 $A$ 为实对称矩阵。如果对任意非零向量 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ ($\mathbf{x}\ne 0$)，恒有 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0$，则称二次型 $f$ 为正定二次型，并称矩阵 $A$ 为正定矩阵。

性质

一个 $n$ 元二次型 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$ 正定的充要条件是：

• 定义法：对于任意非零向量 $\mathbf{x}$，恒有 ${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0$。
• 惯性指数：二次型 $f$ 的正惯性指数 $p=n$。即其标准形中所有项的系数均为正数。
• 矩阵分解：存在可逆矩阵 $C$，使得 $A=C^{T}C$。
• 合同关系：矩阵 $A$ 与单位矩阵 $I$ 合同，记为 $A\simeq I$。
• 特征值：$A$ 的所有特征值 ${\lambda }_i$ 均大于零，即 ${\lambda }_i>0$ ($i=1,2,\dots ,n$)。
• 顺序主子式：$A$ 的各阶顺序主子式均大于零。（西尔维斯特判据 / Sylvester’s criterion） 设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。其顺序主子式定义为：
  • ${\Delta }_1=a_{11}>0$
  • ${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|>0$
  • ${\Delta }_3=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|>0$
  • $\dots$
  • ${\Delta }_n=\text{det}(A)>0$

半正定

• $x^{T}Ax$ 是正定二次型 $⟺$ $A$ 的所有特征值都大于零。
• $x^{T}Ax$ 是半正定二次型 $⟺$ $A$ 的所有特征值都大于或等于零。

判定方法

具体型矩阵的判定

对于给定的具体数值矩阵 $A$，主要使用以下方法进行判定：

1. 顺序主子式法：计算 $A$ 的所有顺序主子式 $D_1,D_2,\dots ,D_n$。若所有 $D_k>0$ ($k=1,\dots ,n$)，则 $A$ 正定。这是最常用和直接的方法之一。
2. 特征值法：求出 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$。若所有 ${\lambda }_i>0$，则 $A$ 正定。
3. 配方法：通过配方法将二次型化为标准形 $f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2$。若所有系数 $d_i>0$ (即正惯性指数 $p=n$)，则二次型正定。
4. 定义法：证明对于任意非零向量 $\mathbf{x}$，恒有 ${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0$。此方法在具体型判定中较少使用。
5. 矩阵分解法：找到一个可逆矩阵 $C$，使得 $A=C^{T}C$。此方法通常用于理论证明，而非计算。

示例

[问答题]

1. 例题：判别二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 的正定性

[答案]

解：根据题目写出二次型矩阵：

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$

第一种方法：$2>0$, $\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|>0$, $|A|>0$，所以正定。

第二种方法：$|\lambda E-A|=0$，所以 ${\lambda }_1=4,{\lambda }_2={\lambda }_3=1$，所以正定。

第三种方法：通过配方法，将 $f$ 配方为： $f=2{\left(x_1+\frac{x_2}{2}+\frac{x_3}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}{\left(x_2+\frac{1}{3}{x}_3\right)}^2+\frac{4}{3}{x}_3^2$ $p=3$，所以正定。

第四种方法：将 $f$ 进行配方，得到： $f=(x_1+x_2{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_3+x_1{)}^2\ge 0$ 所以要证明 $f>0$ 对于 $\forall x\ne 0$ 成立。 假设 $f=0$，则 $x_1+x_2=0,x_2+x_3=0,x_3+x_1=0$，则 $x_1=x_2=x_3=0$， 所以 $x\ne 0$ 时 $f>0$。

：将 f 进行配方，得到： f = (x_1+x_2)^2 + (x_2+x_3)^2 + (x_3+x_1)^2 = (x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1)(x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1)^T = (x_1+x_2, x_2+x_3, x_3+x_1) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = x^T D^T D x = x^T A x 所以找到了这个 D，从而正定。

抽象型矩阵的判定

对于抽象矩阵的正定性问题，首先要明确其为实对称矩阵。基本方法是分析其特征值的正负性。

相关定理与性质：

• 若 $A$ 是正定矩阵，则：
  • $A^T$ 也是正定矩阵。（因为 $A$ 是对称矩阵, $A^T=A$）。
  • $A^{-1}$ 也是正定矩阵。这是一个充要条件。
    • 证明：设 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_i$。因为 $A$ 正定，所以所有 ${\lambda }_i>0$。$A^{-1}$ 的特征值为 $1/{\lambda }_i$，显然也全部大于零。反之，若 $A^{-1}$ 正定，其特征值 $1/{\lambda }_i>0$，则 ${\lambda }_i>0$，故 $A$ 也正定。
  • $A^{\ast }$ (伴随矩阵) 也是正定矩阵。这是一个充分不必要条件。
    • 证明：若 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$，且均大于零。则 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\dots {\lambda }_n>0$。$A^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|A|}{{\lambda }_i}=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2\dots {\lambda }_n}{{\lambda }_i}$。因为所有 ${\lambda }_j>0$，所以 $A^{\ast }$ 的特征值也全为正。
    • 反之不成立：若 $A^{\ast }$ 的特征值为正，不能保证 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_i$ 都为正。例如，当 $A$ 有偶数个负特征值时，$|A|$ 可能为正，$\frac{|A|}{{\lambda }_i}$ 也可能为正。
• 若 $A,B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，则 $A+B$ 也是正定矩阵。
• 若 $A$ 为 $m\times n$ 的实矩阵，且 列满秩 (即 $rank(A)=n$)，则 $A^{T}A$ 是正定矩阵。