矩阵的相似对角化

定义

设 $n$ 阶矩阵 $A$，若存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得

$P^{-1}AP=\Lambda$

其中 $\Lambda$ 为对角矩阵（对角线以外的元素均为 0），则称矩阵 $A$ 可相似对角化 (diagonalizable)，记为 $A\sim \Lambda$。称 $\Lambda$ 是 $A$ 的相似标准形。

相似对角化的意义在于，对角矩阵的幂运算和多项式运算非常简单，只需对对角线上的元素进行相应运算即可。若 $A=P\Lambda P^{-1}$，则 $A^k=P{\Lambda }^k{P}^{-1}$。

对角化条件

充要条件

一个 $n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的充要条件是：

1. 矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
2. 对 $A$ 的每个 $k_i$ 重特征值 ${\lambda }_i$，其对应的特征子空间 $V_{{\lambda }_i}=\{\xi \mid (A-{\lambda }_{i}E)\xi =0\}$ 的维数（几何重数）等于 $k_i$（代数重数），即 $r(A-{\lambda }_{i}E)=n-k_i$。简言之，每个 $k_i$ 重特征值恰好能求出 $k_i$ 个线性无关的特征向量。

推导过程： 由 $P^{-1}AP=\Lambda$ 可得 $AP=P\Lambda$。 将可逆矩阵 $P$ 按列分块为 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)$，对角矩阵 $\Lambda$ 的对角线元素为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$。 $A({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)=({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$ 将上式展开，得到 $(A{\xi }_1,A{\xi }_2,\dots ,A{\xi }_n)=({\lambda }_1{\xi }_1,{\lambda }_2{\xi }_2,\dots ,{\lambda }_n{\xi }_n)$ 比较两边的列向量，可得 $A{\xi }_i={\lambda }_i{\xi }_i$ ($i=1,2,\dots ,n$)。 由于 $P$ 是可逆矩阵，其列向量组 $({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)$ 必须线性无关。同时，${\xi }_i$ 是非零向量。因此，${\lambda }_i$ 是 $A$ 的特征值，${\xi }_i$ 是对应的特征向量。 这就证明了 $A$ 可对角化的充要条件是它有 $n$ 个线性无关的特征向量。

充分条件

以下是矩阵 $A$ 可相似对角化的充分条件（但非必要条件）：

1. $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值。
2. 矩阵 $A$ 为实对称矩阵。(实对称矩阵必可相似对角化，且其相似变换矩阵 $P$ 可以是正交矩阵)。

注意：一个矩阵可对角化，不能反推出它一定有 $n$ 个不同特征值，也不能反推出它一定是实对称矩阵。例如，单位矩阵 $E$ 是对角矩阵，但其特征值全为 1，不是互不相同的。

例题

[问答题]

1. 判断 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 2& -4& 2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$ 是否可以相似对角化

[答案]

解: 因为 $A$ 的行向量成比例，所以 $A$ 的秩 $r(A)=1$。 对于 $3\times 3$ 矩阵 $A$，其特征值满足 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=\text{tr}(A)$ (迹) 和 ${\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=\det (A)$ (行列式)。 由于 $A$ 的行向量成比例，所以 $\det (A)=0$，这意味着至少有一个特征值为 $0$。 又因为 $r(A)=1$，所以 $A$ 有两个特征值为 $0$，即 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$。 迹 $\text{tr}(A)=1+(-4)+1=-2$。 所以 ${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3=0+0+{\lambda }_3=-2$，得到 ${\lambda }_3=-2$。 因此，特征值为 $0,0,-2$。

要判断 $A$ 是否可以相似对角化，需要检查每个特征值的几何重数是否等于其代数重数。

对于特征值 $\lambda =0$ (代数重数为 $2$):

我们需要找到方程 $(\lambda E-A)x=0$ 的基础解系向量个数，即 $n-r(0E-A)$。

当 $\lambda =0$ 时，方程为 $(0E-A)x=0$，即 $Ax=0$。

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 2& -4& 2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)$ 经过行变换化为行阶梯形矩阵：

$\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 2& -4& 2\\ 1& -2& 1\end{array}\right)\stackrel{R_2-2R_1,R_3-R_1}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

该矩阵的秩 $r(A)=1$。

因此，特征值 $\lambda =0$ 对应的特征向量的个数（几何重数）为 $s=n-r(A)=3-1=2$。

由于特征值 $\lambda =0$ 的代数重数是 $2$，几何重数也是 $2$，两者相等。

对于特征值 $\lambda =-2$ (代数重数为 $1$):

代数重数为 $1$ 的特征值，其几何重数必然为 $1$。

因为所有特征值的几何重数都等于其代数重数，所以 $A$ 可以相似对角化。

对角化步骤

1. 求特征值：计算矩阵 $A$ 的特征多项式 $|\lambda E-A|=0$，求出 $A$ 的全部特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ (含重根)。

2. 求特征向量：对每个（不同）的特征值 ${\lambda }_i$，求解齐次线性方程组 $({\lambda }_{i}E-A)x=0$ 的基础解系。这个基础解系就是对应于 ${\lambda }_i$ 的线性无关的特征向量。

   • 检验可对角化：检查所有特征值对应的线性无关特征向量的总个数是否等于矩阵的阶数 $n$。若总数小于 $n$，则矩阵 $A$ 不能相似对角化。

3. 构造矩阵 P 和 Λ：将求出的 $n$ 个线性无关的特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n$ 作为列向量，构造可逆矩阵 $P$。 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n)$ 此时，一定有 $P^{-1}AP=\Lambda$，其中 $\Lambda$ 是一个对角矩阵。 $\Lambda =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)$ 重要提示：对角矩阵 $\Lambda$ 中主对角线元素的排列顺序，必须与可逆矩阵 $P$ 中对应特征向量的排列顺序一一对应。即，如果 $P$ 的第 $j$ 列是属于特征值 ${\lambda }_k$ 的特征向量，那么 $\Lambda$ 的第 $j$ 个对角元就必须是 ${\lambda }_k$。

例题

[问答题]

1. 设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& -2\\ 2& 5& -4\\ -2& -4& 5\end{array}\right)$, 求可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP=\Lambda$

[答案]

解: 首先计算特征值： $|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -2& 2\\ 2& \lambda +5& -4\\ -2& -4& \lambda +5\end{array}\right|=0$ 解得特征方程为 $(\lambda -1{)}^2(\lambda -10)=0$。 因此，特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$, ${\lambda }_3=10$。

当 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$ 时，求解 $(E-A)x=0$。

对应的系数矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}-1& -2& 3\\ 2& 6& -4\\ -2& -4& 6\end{array}\right)$。

通过行变换可得其行阶梯形矩阵，进而求得基础解系。

得到特征向量 ${\xi }_1=(-2,1,0{)}^T$ 和 ${\xi }_2=(2,0,1{)}^T$。

同理，代入 ${\lambda }_3=10$，求解 $(10E-A)x=0$。

得到特征向量 ${\xi }_3=(1,2,-2{)}^T$。

令 $P=({\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 1& 0& 2\\ 0& 1& -2\end{array}\right)$。

则 $P^{-1}AP=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}1& & \\ & 1& \\ & & 10\end{array}\right)$。