矩阵的相似合同关系及判定

实对称矩阵的判定

• 实对称矩阵合同的充要条件是具有相同的正、负惯性指数，即正特征值和负特征值的个数分别相等。
• 实对称矩阵相似的充要条件是具有完全相同的特征值（包括重数）。
• 重要结论： 对于实对称矩阵，相似则必定合同。因为特征值相同，其正、负特征值的个数也必然相同。

一般矩阵的讨论

• 合同关系保持矩阵的对称性。
  • 对称矩阵只能与对称矩阵合同；
  • 非对称矩阵只能与非对称矩阵合同。
• 判定两个非对称矩阵是否合同或相似超出了考研大纲的范畴。我们通常只能利用必要条件来证明它们不相似或不合同。

相似与合同的必要条件

• 相似的必要条件：若矩阵 $A$ 与 $B$ 相似 ($A\sim B$)，则：
  • 秩相等：$r(A)=r(B)$
  • 行列式相等：$|A|=|B|$
  • 迹相等：$tr(A)=tr(B)$
  • 有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
  • 对任意数 $k$，有 $r(A-kE)=r(B-kE)$（$k$ 一般取特征值进行检验）。
    • $A-kE\sim B-kE$
• 合同的必要条件：若矩阵 $A$ 与 $B$ 合同 ($A\cong B$)，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{T}AP=B$ 则：
  • 秩相等：$r(A)=r(B)$