行列式与计算
基本行列式
行列式是线性代数中的一个核心工具，它将一个方阵映射到一个标量。 阶行列式是由 个数 排成的 阶方阵所确定的一个数，记作 或 或 。
特殊类型行列式：
- 爪形行列式 (Arrowhead Determinant)：形如主对角线和第一行（或第一列）非零，其余元素为零的行列式。
a_1 & b & b & \cdots & b \
c & a_2 & 0 & \cdots & 0 \
c & 0 & a_3 & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
c & 0 & 0 & \cdots & a_n
\end{vmatrix} $$
**计算方法**：通常将第 $i$ 列的 $-\frac{c_i}{d_i}$ 倍加到第一列（$i=2, \dots, n$），将其化为**上三角行列式**。
**结论**：当 $a_i \neq 0$ for $i=2, \dots, n$ 时，有$$
D_n = a_1 \prod_{i=2}^n a_i - bc \sum_{j=2}^n \left( \prod_{k=2, k \ne j}^n a_k \right)
或如果所有 $a_i \ne 0$ ($i=1, \dots, n$)，则$$ D_n = \left( \prod_{i=1}^n a_i \right) \left( 1 - \sum_{i=2}^n \frac{bc}{a_i a_1} \right)- 三对角线行列式 (Tridiagonal Determinant)：只有主对角线、主对角线的上一条和下一条对角线上的元素非零。 计算方法：通常使用递推法。$$ D_n = a_n \cdot M_{nn} - c_{n-1} \cdot M_{n,n-1}
A = \begin{vmatrix}
b & a & \cdots & a \
a & b & \cdots & a \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a & a & \cdots & b
\end{vmatrix}_{n \times n}
**计算方法**：等于 $(b+(n-1)a)(b-a)^{n-1}$ ### 高阶行列式计算的一般方法 1. **降阶法**：利用行列式**按某行（或某列）展开**的性质，将高阶行列式转化为若干个低阶行列式的计算。展开公式为： $$ |A| = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij} $$ 其中 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 称为元素 $a_{ij}$ 的**代数余子式**，$M_{ij}$ 是**余子式**。此方法在行或列中**零元素较多**时特别有效。 2. **化三角法**：通过行列式的初等变换（尤其是**倍加变换**）将原行列式化为**上（或下）三角行列式**。这是计算高阶行列式最常用、最核心的方法。 $$ D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\dots a_{nn} = \prod_{i=1}^{n} a_{ii} $$ ## 提取公因式 行列式某一**行**或某一**列**的所有元素有公因子 $k$ 时，可以把 $k$ 提取到行列式符号之外。 $$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ k a_{i1} & \dots & k a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & \dots & a_{in} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ **注意**：这与矩阵的数乘不同，`$|kA| = k^n|A|$`，其中 $n$ 是矩阵 $A$ 的阶数。 ## 转换三角行列式 这是计算行列式的**核心思想**。利用行列式的性质，通过**初等行（列）变换**将行列式化为上/下三角行列式，其值等于主对角线元素的乘积。 **三种变换对行列式值的影响**： 1. **互换两行（列）**：行列式的值**变号**。$r_i \leftrightarrow r_j$ 2. **提取某行（列）的公因子 $k$**：`$r_i \to \frac{1}{k} r_i$` 3. **将某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列）**：行列式的值**不变**。$r_i \to r_i + k r_j$ 在计算中，我们主要使用第 3 种变换，因为它不改变行列式的值，从而简化计算。 ## 行列式值为 0 以下情况行列式的值为零： 1. 行列式中有**某一行或某一列**的元素全为 $0$。 2. 行列式中有**两行或两列**的元素完全相同。 3. 行列式中有**两行或两列**的元素成比例。 ## 拆项 当行列式中某一行（或列）的元素都可以表示为两数之和时，可以利用行列式的**线性性质**将其拆分为两个行列式之和。 $$ \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & b_{1j}+c_{1j} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & b_{2j}+c_{2j} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & b_{nj}+c_{nj} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & b_{1j} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & b_{2j} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & b_{nj} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & c_{1j} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & \dots & c_{2j} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \dots & c_{nj} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ **应用场景**：当直接化简困难时，可以尝试拆开，有时拆分后的行列式更容易计算（例如出现成比例的行/列）。 ## 行列有比例因子 这是**提取公因式**的一种策略应用。在进行变换前，先观察各行各列是否有公因子，若有，**优先提取**，可以极大简化内部元素的数值，减少计算量和计算失误的风险。 ## 行列加和为定值 这是一种特殊的、高频的计算技巧。 **特征**：行列式中每一**行**的所有元素之和为定值 $k$，或者每一**列**的所有元素之和为定值 $k$。 **方法**： 1. 将所有**列**（行和为定值时）或所有**行**（列和为定值时）加到**第一列（或第一行）**上。 2. 此时第一列（或第一行）的元素全部变为 $k$。 3. 提取公因子 $k$，使得第一列（或第一行）元素**全为 1**。 4. 利用这一列（行）的 $1$，通过倍加变换将其他各行（列）的对应元素变为 $0$，从而实现**降阶**或直接化为三角行列式。 ## 分块行列式 当一个高阶方阵可以划分为几个子块，并且其中有**零矩阵**块时，可以利用分块矩阵的行列式公式简化计算。 设 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶方阵，则： 1. **对角分块**： $$ \begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B| $$ 2. **三角分块**： $$ \begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A||B| \quad \text{以及} \quad \begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A||B| $$ 3. **副对角分块**： $$ \begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A||B| \quad \text{以及} \quad \begin{vmatrix} C & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn} |A||B| $$ ## 递推法（重要） **递推法**是求解具有特定规律的 $n$ 阶行列式 $D_n$ 的重要方法。 **核心思想**： 1. **建立递推关系**：通常是将 $D_n$ **按第一行（或第一列）展开**，得到一个包含 $D_{n-1}$ 和 $D_{n-2}$ 等低阶同型行列式的关系式。 2. **求解递推公式**：得到的通常是一个二阶常系数线性差分方程，解法类似于二阶常系数线性微分方程，通过特征方程求出通项公式。 3. **确定初始值**：计算出 $D_1$ 和 $D_2$ 的值，代入通项公式以确定待定系数。 **适用题型**：**三对角线行列式**或元素有明显规律的行列式。 ## 加边法（重要） **加边法**，也称**升阶法**，是一种构造性的计算技巧。 **核心思想**：对于一个 $n$ 阶行列式 $D_n$，通过给它加上一行和一列，构造出一个值不变的 $n+1$ 阶行列式，而这个新的行列式更容易通过变换化简。 **标准形式**： $$ D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} \quad \text{可构造成} \quad D_n = \begin{vmatrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ c_1 & a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_n & a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{vmatrix} $$ 通过巧妙地选取 $c_1, \dots, c_n$ 的值，然后利用新行列式的第 1 行或第 1 列进行变换，可以简化原行列式的结构。 **适用题型**：当行列式的行（列）之间没有明显简单的倍数关系，但加上一个辅助项后能产生简洁关系时。例如，形如 $D = |a_i b_j + d_i \delta_{ij}|$ 的行列式。