行列式与矩阵

矩阵的行列式相关公式

首先，一个核心前提是：只有方阵才有行列式。设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 均为 $n$ 阶方阵，$\mathbf{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$k$ 为常数。

1. 转置矩阵的行列式 矩阵转置，其行列式的值不变。 $|{\mathbf{A}}^T|=|\mathbf{A}|$ 推论：任何对行成立的行列式性质，对列也同样成立。

2. 矩阵乘积的行列式 两个矩阵乘积的行列式，等于它们行列式的乘积。 $|\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$ 注意：一般情况下 $|\mathbf{A}+\mathbf{B}|\ne |\mathbf{A}|+|\mathbf{B}|$。

3. 矩阵数乘的行列式 将矩阵 $\mathbf{A}$ 乘以常数 $k$，其行列式等于 $k^n$ 乘以原行列式。 $|k\mathbf{A}|=k^n|\mathbf{A}|$ 理解：因为数乘矩阵 $k\mathbf{A}$ 相当于将 $\mathbf{A}$ 的每一行都乘以 $k$。根据行列式性质，每提取一行的公因子 $k$，就要在行列式外乘以一个 $k$，共 $n$ 行，所以是 $k^n$。

4. 逆矩阵的行列式 可逆矩阵的行列式，等于原矩阵行列式的倒数。此公式要求 $\mathbf{A}$ 可逆，即 $|\mathbf{A}|\ne 0$。 由 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{E}$，两边取行列式得 $|\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{-1}|=|\mathbf{E}|$，即 $|\mathbf{A}||{\mathbf{A}}^{-1}|=1$。 $|{\mathbf{A}}^{-1}|=\frac{1}{|\mathbf{A}|}=|\mathbf{A}{|}^{-1}$

5. 伴随矩阵的行列式（考研核心） 这是考研中非常重要的一个公式。 由核心公式 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }={\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{E}$，两边取行列式得： $|\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }|=||\mathbf{A}|\mathbf{E}|$ $|\mathbf{A}||{\mathbf{A}}^{\ast }|=(|\mathbf{A}|{)}^n|\mathbf{E}|=(|\mathbf{A}|{)}^n$

   • 当 $|\mathbf{A}|\ne 0$ 时，两边同除以 $|\mathbf{A}|$，得到： $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$
   • 当 $|\mathbf{A}|=0$ 时，$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=\mathbf{O}$。此时 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=0$。（可用秩的理论证明，若 $rank(\mathbf{A})\le n-2$, 则 ${\mathbf{A}}^{\ast }=\mathbf{O}$；若 $rank(\mathbf{A})=n-1$, 则 $rank({\mathbf{A}}^{\ast })=1$，故 $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=0$）。

   综上，对于任意 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ ($n\ge 2$)，都有：

   $|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$

6. 矩阵幂的行列式 矩阵 $\mathbf{A}$ 的 $m$ 次幂的行列式，等于 $\mathbf{A}$ 的行列式的 $m$ 次幂。 $|{\mathbf{A}}^m|=(|\mathbf{A}|{)}^m(m\in {\mathbb{N}}^{+})$

公式小结与推论

矩阵运算	行列式关系	条件
转置 ${\mathbf{A}}^T$	$|{\mathbf{A}}^T|=|\mathbf{A}|$	$\mathbf{A}$ 为方阵
乘积 $\mathbf{AB}$	$|\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}||\mathbf{B}|$	$\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为同阶方阵
数乘 $k\mathbf{A}$	$|k\mathbf{A}|=k^n|\mathbf{A}|$	$\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵
逆 ${\mathbf{A}}^{-1}$	$|{\mathbf{A}}^{-1}|=|\mathbf{A}{|}^{-1}$	$|\mathbf{A}|\ne 0$
伴随 ${\mathbf{A}}^{\ast }$	$|{\mathbf{A}}^{\ast }|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$	$\mathbf{A}$ 为 $n$ 阶方阵 ($n\ge 2$)
幂 ${\mathbf{A}}^m$	$|{\mathbf{A}}^m|=(|\mathbf{A}|{)}^m$	$\mathbf{A}$ 为方阵, $m\in {\mathbb{N}}^{+}$

重要推论（常考填空选择）：

• $|({\mathbf{A}}^{\ast }{)}^{\ast }|=||\mathbf{A}{|}^{n-2}\mathbf{A}|=(|\mathbf{A}{|}^{n-2}{)}^n|\mathbf{A}|=|\mathbf{A}{|}^{n^2-2n+1}=(|\mathbf{A}{|}^{n-1}{)}^2=(|{\mathbf{A}}^{\ast }|{)}^2$ 更简单的推导：将 ${\mathbf{A}}^{\ast }$ 看作一个整体 $B$，则 $|B^{\ast }|=|B{|}^{n-1}$。所以 $|({\mathbf{A}}^{\ast }{)}^{\ast }|=|{\mathbf{A}}^{\ast }{|}^{n-1}=(|\mathbf{A}{|}^{n-1}{)}^{n-1}=|\mathbf{A}{|}^{(n-1{)}^2}$。
• $|k{\mathbf{A}}^{\ast }|=k^n|{\mathbf{A}}^{\ast }|=k^n|\mathbf{A}{|}^{n-1}$
• $|({\mathbf{A}}^T{)}^{-1}|=|({\mathbf{A}}^{-1}{)}^T|=|{\mathbf{A}}^{-1}|=\frac{1}{|\mathbf{A}|}$