一维随机变量数字特征

数学期望

概念

数学期望（Expectation）是随机变量取值的加权平均值，权重为相应取值的概率。它刻画了随机变量取值的平均水平，是其位置的度量。通常记为 $E(X)$ 或 $\mu$。

• 离散型随机变量 设离散型随机变量 $X$ 的概率分布律为 $P(X=x_k)=p_k$, ($k=1,2,\dots$)。若级数 ${\sum }_{k=1}^{\infty }|x_k|p_k$ 收敛，则称 $E(X)={\sum }_{k=1}^{\infty }{x}_k{p}_k$ 为 $X$ 的数学期望。否则，称 $X$ 的数学期望不存在。

• 连续型随机变量 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$。若积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|f(x)dx$ 收敛，则称 $E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$ 为 $X$ 的数学期望。否则，称 $X$ 的数学期望不存在。

• 函数期望不存在的情形 例如，服从柯西分布的随机变量，其概率密度为 $f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)},-\infty <x<+\infty$。由于积分 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }|x|\frac{1}{\pi (1+x^2)}dx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{+\infty }\frac{x}{1+x^2}dx=\frac{1}{\pi }[\ln (1+x^2){]}_0^{+\infty }$ 发散，因此柯西分布的数学期望不存在。

性质

设 $C$ 为常数，$a,b$ 为常数，$X,Y$ 为随机变量。

1. $E(C)=C$
2. $E(aX)=aE(X)$
3. $E(aX+b)=aE(X)+b$
4. $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ (此性质不要求 $X,Y$ 独立)
5. 若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$。
   • 注意: 反之不成立，即 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 不能推出 $X,Y$ 相互独立。
6. 设 $Y=g(X)$ 是随机变量 $X$ 的函数：
   • 若 $X$ 是离散型的，其分布律为 $P(X=x_k)=p_k$，则 $E(Y)=E(g(X))={\sum }_{k=1}^{\infty }g(x_k)p_k$。
   • 若 $X$ 是连续型的，其概率密度为 $f(x)$，则 $E(Y)=E(g(X))={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$。

方差和标准差

概念

方差（Variance）是衡量随机变量取值与其数学期望偏离程度的度量。记为 $D(X)$ 或 $\text{Var}(X)$。

• 定义式： $D(X)=E\{[X-E(X){]}^2\}$
• 计算式（更常用）： $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ 其中 $E(X^2)$ 称为 $X$ 的二阶原点矩。

标准差（Standard Deviation），也称均方差，是方差的算术平方根，记为 $\sigma (X)$。 $\sigma (X)=\sqrt{D(X)}$ 标准差的量纲与随机变量 $X$ 本身的量纲相同。

标准化随机变量 设随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)=\mu$，方差 $D(X)={\sigma }^2\ne 0$。则 $X^{\ast }=\frac{X-\mu }{\sigma }$ 称为 $X$ 的标准化随机变量。标准化随机变量的特点是其期望为 $0$，方差为 $1$。 $E(X^{\ast })=E\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)=\frac{1}{\sigma }(E(X)-\mu )=0$ $D(X^{\ast })=D\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)=\frac{1}{{\sigma }^2}D(X-\mu )=\frac{1}{{\sigma }^2}D(X)=1$

性质

设 $C$ 为常数，$a,b$ 为常数，$X,Y$ 为随机变量。

1. $D(C)=0$
2. $D(X)\ge 0$。当且仅当 $P(X=C)=1$ 时，$D(X)=0$。
3. $D(X+C)=D(X)$
4. $D(aX)=a^{2}D(X)$
5. $D(aX+b)=a^{2}D(X)$
6. 若 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则 $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$。
   • 注意：该性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之和（或差）。

常用分布数字特征

分布名称	概率函数 / 概率密度	$E(X)$	$D(X)$
0-1 分布 $B(1,p)$	$P(X=k)=p^k(1-p{)}^{1-k}$, $k=0,1$	$p$	$p(1-p)$
二项分布 $B(n,p)$	$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布 $P(\lambda )$	$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布 $G(p)$	$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$, $k=1,2,\dots$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
均匀分布 $U(a,b)$	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& a<x<b\\ 0,& \text{其他}\end{array}$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a{)}^2}{12}$
指数分布 $E(\lambda )$	$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& \text{其他}\end{array}$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$	$\mu$	${\sigma }^2$