多维随机变量

概念

设 $E$ 是一个随机试验，其样本空间为 $\Omega$。如果 $X_1(\omega ),X_2(\omega ),\dots ,X_n(\omega )$ 是定义在同一样本空间 $\Omega$ 上的 $n$ 个随机变量，则称向量 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 为 $n$ 维随机变量或 $n$ 维随机向量，$X_i$ 称为第 $i$ 个分量。

当 $n=2$ 时，称 $(X,Y)$ 为二维随机变量或二维随机向量。

联合分布函数

对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，称 $n$ 元函数 $F(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 为 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\dots ,X_n)$ 的联合分布函数。

$F(x_1,x_2,\dots ,x_n)=P\{X_1\le x_1,X_2\le x_2,\dots ,X_n\le x_n\}$

当 $n=2$ 时，对任意实数 $x,y$，称二元函数 $F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$ 为二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数，简称为分布函数。可记为 $(X,Y)\sim F(x,y)$。

性质

联合分布函数 $F(x,y)$ 具有以下性质：

1. 有界性：$F(x,y)$ 是一个取值在 $[0,1]$ 区间的函数，即 $0\le F(x,y)\le 1$。并且：

F(-\infty, y) &= \lim_{x \to -\infty} F(x, y) = 0 \

F(x, -\infty) &= \lim_{y \to -\infty} F(x, y) = 0 \

F(-\infty, -\infty) &= 0 \

F(+\infty, +\infty) &= \lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} F(x, y) = 1

\end{align*} $$

2. 单调性：$F(x,y)$ 关于每个变量 $x$ 和 $y$ 都是单调不减的。即：

   • 对任意固定的 $y$，若 $x_1<x_2$，则 $F(x_1,y)\le F(x_2,y)$。
   • 对任意固定的 $x$，若 $y_1<y_2$，则 $F(x,y_1)\le F(x,y_2)$。

3. 右连续性：$F(x,y)$ 关于每个变量 $x$ 和 $y$ 都是右连续的。即：

   F(x, y+0) &= F(x, y) \end{align*} $$

4. 非负性：对任意 $x_1<x_2,y_1<y_2$，下式恒成立：

   $P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge 0$

边缘分布函数

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数为 $F(x,y)$。随机变量 $X$ 和 $Y$ 各自的分布函数 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$ 称为 $(X,Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘分布函数。

边缘分布函数 $F_X(x)$ 的计算公式为： $F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y<+\infty \}={\lim }_{y\to +\infty }F(x,y)=F(x,+\infty )$

边缘分布函数 $F_Y(y)$ 的计算公式为： $F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X<+\infty ,Y\le y\}={\lim }_{x\to +\infty }F(x,y)=F(+\infty ,y)$

求边缘分布函数的口诀： 求谁不积谁，不积先定限，限内画条线，先交写下 限，后交写上限。

条件分布函数

设 $(X,Y)$ 是二维随机变量，其联合分布函数为 $F(x,y)$，边缘分布函数为 $F_X(x)$ 和 $F_Y(y)$。

在给定事件 $\{Y\le y\}$ 的条件下，随机变量 $X$ 的条件分布函数定义为：

$F_{X|Y}(x|y)=P\{X\le x|Y\le y\}=\frac{P\{X\le x,Y\le y\}}{P\{Y\le y\}}=\frac{F(x,y)}{F_Y(y)}(\text{其中 }{F}_Y(y)>0)$

在给定事件 $\{X\le x\}$ 的条件下，随机变量 $Y$ 的条件分布函数定义为：

$F_{Y|X}(y|x)=P\{Y\le y|X\le x\}=\frac{P\{X\le x,Y\le y\}}{P\{X\le x\}}=\frac{F(x,y)}{F_X(x)}(\text{其中 }{F}_X(x)>0)$