一维随机变量函数分布

一维随机变量函数的分布

设 $X$ 为随机变量，函数 $y=g(x)$，则以随机变量 $X$ 作为自变量的函数 $Y=g(X)$ 也是随机变量，称为随机变量 $X$ 的函数。

如 $Y=a{X}^2+bX+c$ 等等

离散型

设离散型随机变量 $X$ 的分布律为：

$P\{X=x_i\}=p_i,(i=1,2,\dots )$

则 $Y=g(X)$ 也是一个离散型随机变量。其可能的取值为 $y_i=g(x_i)$。

$Y$ 的分布律为：

$P\{Y=y_j\}=P\{g(X)=y_j\}={\sum }_{g(x_i)=y_j}P\{X=x_i\}$

核心方法：将 $Y$ 的取值 $y_j$ 相同的项合并，将对应的概率 $p_i$ 相加，作为 $Y$ 取值为 $y_j$ 的概率。

例题

[问答题]

设 $X$ 的分布律为

$X$	-2	-1	0	1	2	3
$P$	0.05	0.15	0.20	0.25	0.20	0.15

求 $Y=2X+1$ 和 $Z=X^2$ 的分布律。

[答案]

解：

1. 求 $Y=2X+1$ 的分布律： $g(x)=2x+1$ 是一个一一映射， $X$ 的不同取值对应 $Y$ 的不同取值。因此， $Y$ 的取值所对应的概率与 $X$ 相同。 $X$ 取 $-2,-1,0,1,2,3$ 时， $Y$ 对应取值为 $-3,-1,1,3,5,7$。 $Y$ 的分布律为：

$Y$	-3	-1	1	3	5	7
$P$	0.05	0.15	0.20	0.25	0.20	0.15

2. 求 $Z=X^2$ 的分布律： $g(x)=x^2$ 不是一一映射， $X$ 的不同取值可能对应 $Z$ 的相同取值。 $X$ 取 $-2,-1,0,1,2,3$ 时， $Z$ 对应取值为 $4,1,0,1,4,9$。 $Z$ 的所有可能取值为 $0,1,4,9$。
   • $P\{Z=0\}=P\{X=0\}=0.20$
   • $P\{Z=1\}=P\{X=-1\}+P\{X=1\}=0.15+0.25=0.40$
   • $P\{Z=4\}=P\{X=-2\}+P\{X=2\}=0.05+0.20=0.25$
   • $P\{Z=9\}=P\{X=3\}=0.15$$Z$ 的分布律为：

$Z$	0	1	4	9
$P$	0.20	0.40	0.25	0.15

连续型

给定连续型随机变量$X$，其分布函数 $F_X(x)$ 与密度 $f_X(x)$ 已知；设 $Y=g(X)$。求 $Y$ 的分布常用两法：分布函数法与公式法（密度变换法）。

分布函数法

思路：直接由定义求 $F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y)$，再对 $y$ 求导得 $f_Y(y)$。

步骤：

1. 明确 $X$ 的取值集 $S_X$ 与 $Y$ 的取值集 $S_Y=g(S_X)$。

2. 对给定 $y$，解不等式 $g(x)\le y$ 在 $S_X$ 中的解集 $A_y$。

3. 由

   $$F_Y(y)=P(X\in A_y)={\int }_{A_y}{f}_X(x)dx$$

   得 $F_Y(y)$；若需密度，作导数 $f_Y(y)=\frac{d}{dy}{F}_Y(y)$（存在处）。

典型情形：

• $g$ 在 $S_X$ 上严格单调且可逆（记 $h=g^{-1}$）：

  $$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{F}_X(h(y)),& g\text{增函数},\\ 1-F_X(h(y)),& g\text{减函数},\end{array}y\in S_Y$$

  从而

  $$f_Y(y)=f_X(h(y))|h^{\prime }(y)|,y\in S_Y.$$

• $g$ 分段单调：将 $S_X$ 分解为有限个区间 $I_k$，$g$ 在每个 $I_k$ 上单调。则

  $$F_Y(y)=\sum _k{\int }_{\{x\in I_k:g(x)\le y\}}{f}_X(x)dx.$$

快速例子：

• 若 $X\sim U(0,1)$，$Y=X^2$，则 $S_Y=[0,1]$， $$F_Y(y)=P(X\le \sqrt{y})=\sqrt{y},0\le y\le 1;f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}},0<y<1.$$
• 若 $X\sim N(0,1)$，$Y=|X|$，则 $S_Y=[0,\infty )$， $$F_Y(y)=P(-y\le X\le y)=2\Phi (y)-1,y\ge 0;f_Y(y)=2\phi (y),y>0.$$

要点与注意：

• 先判定 $S_Y=g(S_X)$；边界点处可用极限求 $F_Y$。
• $X$ 连续则 $F_X$ 连续，单调情形下 $F_Y$ 公式可直接用上式（无需左极限）。
• 如 $g$ 在一段上为常数且 $P(X\text{落于该段})>0$，则 $Y$ 在相应点出现原子（离散概率）；此时 $Y$ 非纯连续型。

公式法

当 $g$ 可微且（在根附近）分段单调时，$Y$ 的密度可由根的贡献求和。设对给定 $y$，方程 $g(x)=y$ 在 $S_X$ 内有有限个解 $x_k(y)$，且这些解满足 $g^{\prime }(x_k(y))\ne 0$，则

$$f_Y(y)=\sum _k\frac{f_X(x_k(y))}{|g^{\prime }(x_k(y))|},y\in S_Y.$$

等价地，在每个单调分支 $I_k$ 上，若 $h_k=g^{-1}{|}_{g(I_k)}$，则

$$f_Y(y)=\sum _k{f}_X(h_k(y))|h_k^{\prime }(y)|,y\in g(I_k),$$

并在 $S_Y$ 外取 $f_Y(y)=0$。

常用变换速记：

• 线性变换 $Y=aX+b$（$a\ne 0$）： $$f_Y(y)=\frac{1}{|a|}{f}_X\left(\frac{y-b}{a}\right),S_Y=b+a{S}_X.$$
• 平方 $Y=X^2$： $$f_Y(y)=\frac{f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})}{2\sqrt{y}},y>0;S_Y=\{y\ge 0:\pm \sqrt{y}\in S_X\}.$$
• 绝对值 $Y=|X|$： $$f_Y(y)=f_X(y)+f_X(-y),y>0;F_Y(y)=P(-y\le X\le y).$$
• 倒数 $Y=\frac{1}{X}$（要求 $P(X=0)=0$）： $$f_Y(y)=\frac{1}{y^2}{f}_X\left(\frac{1}{y}\right),y\in \{\frac{1}{x}:x\in S_X\setminus \{0\}\}.$$

解题范式（公式法）：

1. 定 $S_X$ 并找 $S_Y=g(S_X)$。
2. 对一般 $y\in S_Y$，求解 $g(x)=y$ 在 $S_X$ 内的全部解 $x_k(y)$。
3. 检查各解的可微性与 $g^{\prime }(x_k)\ne 0$；应用 $$f_Y(y)=\sum _k\frac{f_X(x_k(y))}{|g^{\prime }(x_k(y))|}.$$
4. 必要时补充边界点的极限处理；核验 ${\int }_{S_Y}{f}_Y(y)dy=1$。

注意：

• 若某些 $y$ 对应的解集包含使 $g^{\prime }(x)=0$ 的孤立点，通常对整体积分无影响，但需用极限求值，避免直接代入。
• 若 $g$ 在 $S_X$ 上存在平坦区（常值区间）且有正概率，则 $Y$ 含离散部分，上述密度公式仅覆盖其连续部分，需另加点质量：$P(Y=c)=P(X\in \{x:g(x)=c\})$.

例题

问题：设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，即 $X\sim E(\lambda )$，记 $Y=\max (X,1/X)$，求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$。

解答：

第一步：分析函数与定义域

1. $X$ 的概率密度函数为：

   $$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$$

   $X$ 的取值范围（支撑集）为 $S_X=(0,\infty )$。

2. 令 $Y=g(X)=\max (X,1/X)$。我们分析函数 $g(x)$：

   $$g(x)=\max (x,1/x)=\{\begin{array}{ll}1/x,& 0<x\le 1\\ x,& x>1\end{array}$$

   当 $x$ 在 $(0,\infty )$ 变化时，$g(x)$ 的最小值为 $g(1)=1$。因此，$Y$ 的取值范围为 $S_Y=[1,\infty )$。对于 $y<1$, $f_Y(y)=0$ 且 $F_Y(y)=0$。

第二步：用公式法求密度函数 $f_Y(y)$ 我们考虑任意 $y>1$。根据公式法，需要解方程 $g(x)=y$。

$$\max (x,1/x)=y$$

该方程有两个分支：

• 若 $x>1$，则 $x=y$，解为 $x_1=y$。
• 若 $0<x\le 1$，则 $1/x=y$，解为 $x_2=1/y$。

对于 $y>1$，我们得到了两个在 $S_X=(0,\infty )$ 内的解：$x_1=y$ 和 $x_2=1/y$。

接下来计算 $g^{\prime }(x)$ 在两个解处的值：

• 对于 $x_1=y>1$，我们使用 $g(x)=x$ 这一分支，其导数 $g^{\prime }(x)=1$。所以，$|g^{\prime }(x_1)|=|g^{\prime }(y)|=1$。
• 对于 $x_2=1/y\in (0,1)$，我们使用 $g(x)=1/x$ 这一分支，其导数 $g^{\prime }(x)=-1/x^2$。所以，$|g^{\prime }(x_2)|=|g^{\prime }(1/y)|=|-1/(1/y{)}^2|=|-y^2|=y^2$。

根据公式，对于 $y>1$，$Y$ 的密度函数为：

$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =\frac{f_X(x_1)}{|g^{\prime }(x_1)|}+\frac{f_X(x_2)}{|g^{\prime }(x_2)|}\\ & =\frac{f_X(y)}{1}+\frac{f_X(1/y)}{y^2}\\ & =\lambda e^{-\lambda y}+\frac{\lambda e^{-\lambda /y}}{y^2}\end{array}$$

综上，$Y$ 的密度函数为：

$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda y}+\lambda y^{-2}{e}^{-\lambda /y},& y\ge 1\\ 0,& y<1\end{array}$$

第三步：积分求分布函数 $F_Y(y)$ $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)=P(Y\le y)$。

• 当 $y<1$ 时，$F_Y(y)=0$。

• 当 $y\ge 1$ 时，$F_Y(y)={\int }_{-\infty }^y{f}_Y(t)dt={\int }_1^y{f}_Y(t)dt$。

  $$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& ={\int }_1^y\left(\lambda e^{-\lambda t}+\frac{\lambda e^{-\lambda /t}}{t^2}\right)dt\\ & ={\int }_1^y\lambda e^{-\lambda t}dt+{\int }_1^y\frac{\lambda e^{-\lambda /t}}{t^2}dt\end{array}$$

  我们分别计算这两个积分：

  1. 第一个积分： $${\int }_1^y\lambda e^{-\lambda t}dt={\left[-e^{-\lambda t}\right]}_1^y=-e^{-\lambda y}-(-e^{-\lambda })=e^{-\lambda }-e^{-\lambda y}$$
  2. 第二个积分，使用换元法，令 $u=1/t$，则 $du=-1/t^{2}dt$。当 $t=1$ 时 $u=1$，当 $t=y$ 时 $u=1/y$。 $${\int }_1^y\frac{\lambda e^{-\lambda /t}}{t^2}dt={\int }_1^{1/y}\lambda e^{-\lambda u}(-du)={\int }_{1/y}^1\lambda e^{-\lambda u}du={\left[-e^{-\lambda u}\right]}_{1/y}^1=-e^{-\lambda }-(-e^{-\lambda /y})=e^{-\lambda /y}-e^{-\lambda }$$

  将两部分结果相加：

  $$F_Y(y)=(e^{-\lambda }-e^{-\lambda y})+(e^{-\lambda /y}-e^{-\lambda })=e^{-\lambda /y}-e^{-\lambda y}$$

第四步：总结 综上所述，$Y=\max (X,1/X)$ 的分布函数为：

$$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<1\\ e^{-\lambda /y}-e^{-\lambda y},& y\ge 1\end{array}$$

注记：本题使用分布函数法求解会更加快捷。 对于 $y\ge 1$：

$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =P(Y\le y)=P(\max (X,1/X)\le y)\\ & =P(X\le y\text{ and }1/X\le y)\\ & =P(1/y\le X\le y)\\ & =F_X(y)-F_X(1/y)\\ & =(1-e^{-\lambda y})-(1-e^{-\lambda /y})\\ & =e^{-\lambda /y}-e^{-\lambda y}\end{array}$$

结果与公式法一致，但在计算上更为简便。这提示我们在解题时可以灵活选择最合适的方法。