一维随机变量

随机变量的概念

随机变量是定义在样本空间 $\Omega$ 上的一个单值实函数 $X(\omega )$，其中 $\omega \in \Omega$。随机变量的引入使得我们可以用数学函数的方法来研究随机现象。

通常我们用大写字母 $X,Y,Z$ 等表示随机变量，用小写字母 $x,y,z$ 等表示其取值。

例如，在抛掷两枚硬币的试验中，样本空间 $\Omega =\{(\text{正,正}),(\text{正,反}),(\text{反,正}),(\text{反,反})\}$。我们可以定义一个随机变量 $X$ 为“出现正面的次数”，则：

• $X(\text{正,正})=2$
• $X(\text{正,反})=1$
• $X(\text{反,正})=1$
• $X(\text{反,反})=0$

$X$ 的可能取值为 $0,1,2$。对于随机变量的讨论，我们通常关心它取某个值或落在某个区间的概率，例如 $P(X=1)$ 或 $P(X\le 1)$。

分布函数

概念

设 $X$ 是一个随机变量，对任意实数 $x$，称函数

$F(x)=P(X\le x),(-\infty <x<+\infty )$

为随机变量 $X$ 的分布函数。

分布函数 $F(x)$ 是一个普通的函数，它完整地描述了随机变量 $X$ 的统计规律性。对于任何实数 $x_1,x_2$ 且 $x_1<x_2$，有： $P(x_1<X\le x_2)=P(X\le x_2)-P(X\le x_1)=F(x_2)-F(x_1)$

性质

函数 $F(x)$ 成为一个分布函数，必须满足以下三个性质（这也是一个函数是分布函数的充要条件）：

1. 单调不减性：$F(x)$ 是一个单调不减的函数。即对于任意 $x_1<x_2$，有 $F(x_1)\le F(x_2)$。
2. 有界性：$F(x)$ 的值域为 $[0,1]$，并且 $F(-\infty )={\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$ $F(+\infty )={\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$
3. 右连续性：$F(x)$ 是右连续的。即对于任意实数 $x_0$，有 $F(x_0+0)={\lim }_{x\to x_0^{+}}F(x)=F(x_0)$

应用

利用分布函数可以计算随机变量 $X$ 落在任意区间的概率。

• $P\{X\le a\}=F(a)$
• $P\{X<a\}=P({\lim }_{ϵ\to 0^{+}}\{X\le a-ϵ\})={\lim }_{ϵ\to 0^{+}}P(X\le a-ϵ)={\lim }_{x\to a^{-}}F(x)=F(a-0)$
  • $F(a-0)$ 表示分布函数 $F(x)$ 在点 $a$ 的左极限。
• $P\{X=a\}=P\{X\le a\}-P\{X<a\}=F(a)-F(a-0)$
  • 这个值等于分布函数 $F(x)$ 在点 $a$ 处的跳跃间断点的高度。
  • 如果 $F(x)$ 在点 $a$ 处连续，那么 $F(a)=F(a-0)$，从而 $P\{X=a\}=0$。
• $P\{X>a\}=1-P\{X\le a\}=1-F(a)$
• $P\{a<X\le b\}=F(b)-F(a)$
• $P\{a\le X\le b\}=P\{X\le b\}-P\{X<a\}=F(b)-F(a-0)$
• $P\{a\le X<b\}=P\{X<b\}-P\{X<a\}=F(b-0)-F(a-0)$
• $P\{a<X<b\}=P\{X<b\}-P\{X\le a\}=F(b-0)-F(a)$