Gamma 函数

伽玛函数（Gamma 函数，记作Γ函数）是数学中一个重要的特殊函数，广泛应用于概率论、组合数学、数论、高维几何及数学分析等领域。它是阶乘函数在实数和复数范围上的推广和延拓。

定义与基本性质

• 伽玛函数最经典的定义形式是欧拉积分定义：

$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx$$

该积分在实部大于 0 的复数域上收敛，并可通过解析延拓定义在除非正整数外的整个复平面上。

• 伽玛函数满足重要的递推关系：

$$\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$$

这与阶乘的性质一致，使得对正整数 $n$，有

$$\Gamma (n+1)=n!$$

伽玛函数因此可以看作阶乘函数的连续扩展。

• 特殊值：

$$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$$

这使得半整数阶的伽玛函数值可以用根号π表示。

计算示例

• 计算积分 ${\int }_0^{+\infty }{x}^5{e}^{-x}dx$ 可以用伽玛函数表示为 $\Gamma (6)=5!$。
• 对于带参数的积分，如 ${\int }_0^{+\infty }{x}^3{e}^{-2x}dx$，通过变量替换可转化为伽玛函数形式，计算方便。

应用领域

• 概率论与统计学：伽玛函数用于定义伽玛分布、贝塔分布等重要概率分布的概率密度函数，且与泊松分布等有共轭关系。
• 数学分析：伽玛函数实现了阶乘的连续推广，支持分数阶导数和积分的定义，推动了分数阶微积分的发展。
• 数论与组合数学：伽玛函数在组合计数和数论函数的推广中发挥作用。
• 高维几何：用于计算高维球体体积等问题。

复数域上的扩展

伽玛函数不仅定义在实数域，还可解析延拓到复数域（除非正整数点外），在复分析中是重要的特殊函数。

与其他函数的关系

• 与 Beta 函数 密切相关，Beta 函数可表示为伽玛函数的商。
• 与欧拉常数γ和黎曼ζ函数有联系，体现了伽玛函数在数论和解析函数理论中的深远影响。