平方数和的最小值

这是一个经典的优化问题。我们要求在约束条件 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$ 下，函数 $f(a_1,a_2,\dots ,a_n)={\sum }_{i=1}^n{a}_i^2$ 的最小值。

答案是：最小值为 $\frac{1}{n}$。

下面提供三种不同的方法来求解。

方法一：柯西 - 施瓦茨不等式 (Cauchy-Schwarz Inequality)

这是解决此问题最直接、最优雅的方法。

柯西 - 施瓦茨不等式的向量形式为：

$({\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i{)}^2\le ({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2)({\sum }_{i=1}^n{y}_i^2)$ 我们巧妙地选取 $x_i$ 和 $y_i$：

令 $x_i=a_i$ 并且 $y_i=1$。

将它们代入不等式：

$({\sum }_{i=1}^n{a}_i\cdot 1{)}^2\le ({\sum }_{i=1}^n{a}_i^2)({\sum }_{i=1}^n{1}^2)$ 现在我们来计算不等式两边的具体值：

• 左边：${\sum }_{i=1}^n{a}_i\cdot 1={\sum }_{i=1}^n{a}_i$。根据已知条件，这个和为 1。所以左边是 $1^2=1$。
• 右边第一项：${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2$。这是我们要求最小值的目标函数。
• 右边第二项：${\sum }_{i=1}^n{1}^2=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{1^2+1^2+\cdots +1^2}}=n$。

将这些代回不等式，我们得到：

$1\le ({\sum }_{i=1}^n{a}_i^2)\cdot n$ 整理一下，就可以得到我们目标函数的下界：

${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2\ge \frac{1}{n}$ 根据柯西 - 施瓦茨不等式，等号成立的条件是向量 $(x_1,\dots ,x_n)$ 和 $(y_1,\dots ,y_n)$ 成比例。即存在一个常数 $k$，使得 $x_i=k\cdot y_i$ 对所有 $i$ 都成立。

在我们的例子中，这意味着 $a_i=k\cdot 1$，即 $a_i=k$。

也就是说，当所有的 $a_i$ 都相等时，可以取到最小值。

我们将 $a_i=k$ 代入约束条件 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$ 中：

${\sum }_{i=1}^{n}k=n\cdot k=1⟹k=\frac{1}{n}$ 所以，当 $a_1=a_2=\cdots =a_n=\frac{1}{n}$ 时，${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2$ 取得最小值。

此时的最小值为：

${\sum }_{i=1}^n(\frac{1}{n}{)}^2=n\cdot (\frac{1}{n^2})=\frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$。

这与我们从不等式中得到的下界完全吻合。

方法二：拉格朗日乘数法 (Lagrange Multipliers)

这是一种标准的微积分方法，用于求解带约束条件的极值问题。

1. 定义目标函数和约束函数：

   • 目标函数：$f(a_1,\dots ,a_n)={\sum }_{i=1}^n{a}_i^2$
   • 约束条件：$g(a_1,\dots ,a_n)={\sum }_{i=1}^n{a}_i-1=0$

2. 构造拉格朗日函数： $L(a_1,\dots ,a_n,\lambda )=f-\lambda g={\sum }_{i=1}^n{a}_i^2-\lambda ({\sum }_{i=1}^n{a}_i-1)$

3. 求偏导数并令其为零： 我们对每个 $a_i$ 以及 $\lambda$ 求偏导数。 $\frac{\partial L}{\partial a_i}=2a_i-\lambda =0$ (对于 $i=1,2,\dots ,n$) $\frac{\partial L}{\partial \lambda }=-({\sum }_{i=1}^n{a}_i-1)=0$

4. 求解方程组： 从第一个方程 $2a_i-\lambda =0$ 中，我们得到 $a_i=\frac{\lambda }{2}$。 这表明，在极值点，所有的 $a_i$ 都必须相等。

   将 $a_i=\frac{\lambda }{2}$ 代入第二个方程（即约束条件）：

   ${\sum }_{i=1}^n\frac{\lambda }{2}=1$

   $n\cdot \frac{\lambda }{2}=1⟹\lambda =\frac{2}{n}$ 现在我们知道了 $\lambda$ 的值，就可以求出 $a_i$ 的值：

   $a_i=\frac{\lambda }{2}=\frac{2/n}{2}=\frac{1}{n}$ 这说明，当 $a_1=a_2=\cdots =a_n=\frac{1}{n}$ 时，函数取得极值。由于该函数的二阶导数（Hessian 矩阵）是正定的，可以确定这是一个最小值点。

5. 计算最小值： 将 $a_i=\frac{1}{n}$ 代入目标函数： ${\sum }_{i=1}^n(\frac{1}{n}{)}^2=n\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}$

方法三：几何解释

1. 约束条件： 约束 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$ 在 $n$ 维空间中定义了一个超平面（Hyperplane）。

2. 目标函数： 目标函数 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2$ 是点 $(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ 到原点 $(0,0,\dots ,0)$ 距离的平方。

3. 问题转化： 问题就变成了：在超平面 $\sum a_i=1$ 上，找一个点，使其到原点的距离最短。

4. 求解： 从原点到超平面的最短距离，是沿着该超平面的法向量方向的。 超平面 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$ 的法向量是 $\vec{v}=(1,1,\dots ,1)$。 因此，距离最近的点 $P$ 必然在由法向量构成的直线上，即 $P=(k,k,\dots ,k)$ 的形式。

   因为这个点必须在超平面上，所以它要满足约束条件：

   ${\sum }_{i=1}^{n}k=n\cdot k=1⟹k=\frac{1}{n}$ 所以，离原点最近的点是 $(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\dots ,\frac{1}{n})$。

   该点到原点距离的平方就是我们要的最小值：

   ${\sum }_{i=1}^n(\frac{1}{n}{)}^2=n\cdot \frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}$

结论

综上所述，通过三种不同的方法，我们都得到了相同的结果：

在 ${\sum }_{i=1}^n{a}_i=1$ 的条件下，${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2$ 的最小值为 $\frac{1}{n}$，这个最小值在 $a_1=a_2=\cdots =a_n=\frac{1}{n}$ 时取得。