香农定理与奈奎斯特定理的关系

奈奎斯特定理和香农定理都是通信领域的基础理论，用于描述信道的数据传输能力，但它们关注的条件和核心点不同：

• 奈奎斯特定理（Nyquist Theorem）适用于理想无噪声信道，主要用于确定在给定带宽下，信号采样或码元传输的最高速率。其核心结论是：带宽为 $B$ Hz 的理想无噪声信道，最大码元传输速率为 $2B$ 波特（Baud），如果每个码元有 $M$ 种状态，则最大数据速率为 $2B{\log }_{2}M$ bps。
• 香农定理（Shannon Theorem）则适用于实际有噪声的信道，给出了带宽有限且存在高斯白噪声条件下的信道最大数据传输速率（信道容量）：

$$C=B{\log }_2(1+S/N)$$

其中，$C$ 为信道容量（bps），$B$ 为带宽（Hz），$S/N$ 为信噪比。

这两者的关系可以概括为：奈奎斯特定理是香农定理的特例，即在信道无噪声（$S/N\to \infty$）的理想情况下，香农定理的结果会趋近于奈奎斯特定理的极限。

何时使用哪一个定理

• 无噪声理想信道：采用奈奎斯特定理。此时主要考虑带宽和码元数对速率的影响，不考虑噪声。
• 有噪声实际信道：采用香农定理。此时信道容量不仅受限于带宽，还受限于信噪比，香农定理给出理论上能达到的最大无误码速率。

如果两种条件都能计算出速率（比如理论分析或系统设计时），应取两者计算结果中的较小值，因为实际可达的速率不能超过任一理论极限。

总结对比

定理	适用条件	主要影响因素	计算公式	侧重点
奈奎斯特定理	理想无噪声信道	带宽、码元状态数	$2B{\log }_{2}M$	采样/码元速率上限
香农定理	实际有噪声信道	带宽、信噪比	$B{\log }_2(1+S/N)$	信道容量（bps）

典型应用场景

• 数字信号采样、理想数字通信设计：用奈奎斯特定理确定最低采样率或最高码元速率。
• 实际通信系统容量评估、信道设计：用香农定理评估在给定带宽和信噪比下能实现的最大数据速率。

选取条件

在无噪声条件下用奈奎斯特定理，有噪声时用香农定理。若两者都可用，取二者计算出的较小值作为信道的最大数据速率。