数学卷子

2025

真题

2025年

T2 级数 级数判敛

• 正项级数
  • 比较判别法(极限形式)
  • 比值判别法
  • 根值判别法
  • 积分判别法
• 交错级数
  • Leibniz 判别法（1. 项符号交错 2. 项绝对值单调递减 3. 极限为零）
• 一般项级数

三角函数 诱导公式

$\sin \left(\frac{n^3\pi }{n^2+1}\right)=\sin \left(n\pi -\frac{n}{n^2+1}\pi \right)=(-1{)}^{n-1}\sin \left(\frac{n}{n^2+1}\pi \right)$

T5 二次型 惯性系数

• 合同变换不变性：若存在可逆矩阵 $C$ 使 $B=C^{T}AC$，则称 $A$ 与 $B$ 合同；合同变换不改变秩与惯性指数 $(p,q)$。

• 惯性定理：任一实对称矩阵与 $\mathrm{diag}(I_p,-I_q,0_r)$ 合同，且 $p,q$ 唯一（$p+q+r=n$）。

• 特征值判定（仅对实对称矩阵）：

  • 全为正 → 正定；全为负 → 负定；有正有负 → 不定；含零且无异号 → 半正/半负。

• Sylvester 判别法（任一 ${\Delta }_k=0$ 则失效，顺序主子式 ${\Delta }_k=\det A_k$，从 $k=1$ 开始）：

  • 正定 ⇔ $\forall k,{\Delta }_k>0$；
  • 负定 ⇔ $\forall k,(-1{)}^k{\Delta }_k>0$（即 ${\Delta }_1<0,{\Delta }_2>0,{\Delta }_3<0,\dots$）。

T6 秩 解空间维数与空间图形

• $n=3$ 时，齐次方程 $Ax=0$：

  • $r(A)=1\Rightarrow \dim N(A)=3-1=2$：解集为过原点的一个平面。
  • $r(A)=2\Rightarrow \dim N(A)=3-2=1$：解集为过原点的一条直线。

• $n=3$ 时，非齐次方程 $Ax=b$：

  • 若 $b\in \mathrm{Col}(A)$（即存在 $c$ 使 $b=Ac$），则解集为 $x=c+N(A)$：在 ${\mathbb{R}}^3$ 中是一个经过点 $c$ 的平面/直线，方向与 $N(A)$ 相同。
  • 若 $b\notin \mathrm{Col}(A)$，则无解。

T8 数字特征 方差公式

$$\begin{array}{c}D(X)=E[(X-E(X){)}^2]\\ \mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]\\ D(aX+bY)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)\end{array}$$

T9 常见分布 二项分布 泊松近似

$$\begin{array}{c}P\{X=k\}={\mathrm{C}}_k^n{p}^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,2,\dots ,n\\ P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},k=0,1,2,\dots \end{array}$$

当 $n$ 较大且 $p$ 较小时，二项分布 $B(n,p)$ 可以用泊松分布 $P(\lambda )$ 近似，其中 $\lambda =np$。

T10 假设检验 拒绝域和置信区间

注意：拒绝域的分母是 $\sigma$，即标准差

设总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，样本容量为 $n$，样本均值为 $\bar{X}$。

拒绝域

• 显著性水平为 $\alpha$ 的单侧检验

  • 左侧检验：$H_0:\mu \ge {\mu }_0$，拒绝域 $(-\infty ,{\mu }_0-z_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$
  • 右侧检验：$H_0:\mu \le {\mu }_0$，拒绝域 $({\mu }_0+z_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}},+\infty )$

• 显著性水平为 $\alpha$ 的双侧检验

  • $H_0:\mu ={\mu }_0$，拒绝域 $(-\infty ,{\mu }_0-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})\cup ({\mu }_0+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},+\infty )$

关系总结：

• 显著性水平 $\alpha$: 犯弃真误的概率不超过 $\alpha$。如 $H_0$ 为 $\mu ={\mu }_0$

  • 则犯弃真误的概率为 $P\{H_0\text{ 被拒绝}|H_0\text{ 真}\}=P(|\bar{X}-{\mu }_0|>z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=\alpha$

• 置信区间 $1-\alpha$: 没有犯错的概率至少为 $1-\alpha$

  • 则没有犯错的概率为 $P\{H_0\text{ 被接受}|H_0\text{ 真}\}=P(|\bar{X}-\mu |\le z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=1-\alpha$
  • $\mu$ 的置信区间为 $(\bar{X}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}})$

T12 傅里叶级数 狄利克雷收敛定理

T13 梯度与方向导数 方向导数

注意: $n$ 为单位向量

点 $P$ 处沿单位向量 $\mathbf{n}$ 的方向导数定义为

$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}{|}_P=\mathbf{grad}f{|}_P\cdot \mathbf{n}$

T15 向量组 矩阵方程同解 充要条件

若 $Ax=0$ 与 $Bx=0$ 同解，则 $r(A)=r(B)=r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$

例如: $A^{2}x=0$ 与 $Ax=0$ 同解的充分必要条件：$r(A)=r(A^2)$。 不同解时，$r(A^2)<r(A)$，即 $|A|=0$

T21 线性方程组 相同齐次解问题

求所有满足 $A\beta =0$、$A\alpha =\beta$ 的非零向量 $\alpha$ 与 $\beta$。

1. 齐次方程 $A\alpha =0$ 与 $A\beta =0$ 同解，解得通解 $x_h=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$
2. 非齐次方程 $A\alpha =\beta$，由于存在非零解，故 $\bar{A}=[A|\beta ]$ 中 $r(\bar{A})=r(A)$，解出对应的 $k_1,k_2$。故 $\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2$，再代入非齐次方程求特解 ${\alpha }_0$。
3. 非齐次通解 $\alpha ={\alpha }_0+k_3{\alpha }_1+k_4{\alpha }_2$。
4. 注意：$\alpha$ 通解的系数与 $\beta$ 通解的系数无关。

T22 级数 加和符号问题

级数加和符号，下减上加 ${\sum }_{n=k}^{\infty }(n-k)={\sum }_{n=0}^{\infty }n$

初等数学 组合数

${\mathrm{C}}_k^n=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

2024年

T2 线面积分 向量场的通量 二型面转一型面

$$\begin{array}{rl}\Phi & ={\iint }_{\Sigma }\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}={\iint }_S\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}S\\ & ={\iint }_S(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\mathrm{d}S\\ & ={\iint }_{S}P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

例如： 转为对xOy面的投影(以$z+$方向为例)：

$${\iint }_{\Sigma }P\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\iint }_D\left(P\left(\frac{\cos \alpha }{\cos \gamma }\right)+Q\left(\frac{\cos \beta }{\cos \gamma }\right)+R\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

T4 极限与导数 极限值与趋近点函数值无关

若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则对于任意 $x_n\to x_0$（且 $x_n\ne x_0$），有 ${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$。

但导数不同，$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 与 $f(x_0)$ 有关。

T10 数字特征 同分布随机变量数字特征

若随机变量 $X$、$Y$ 独立且同分布，则

$E(f(X))=E(f(Y))$

其中 $f$ 为可测函数。

借助二阶原点矩必相同的必要条件，可用来求解选择题正确选项。

例如： 若 $X$、$Y$ 独立同分布于参数为 $\lambda$ 的指数分布。令 $Z=|X-Y|$，则下列随机变量与 $Z$ 同分布的是

选项	随机变量	$E{X}^2$	同分布
A	$X+Y$	$\frac{2}{\lambda }$	❌
B	$\frac{X+Y}{2}$	$\frac{1}{\lambda }$	❌
C	$2X$	$\frac{4}{{\lambda }^2}$	❌
D	$X$	$\frac{2}{{\lambda }^2}$	✔
	$EZ$	$\frac{2}{{\lambda }^2}$

2022年

T1 极限与导数 极限与函数值无关

注意：${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)}{\ln x}=1$ 只能说明 ${\lim }_{x\to 1}f(x)=0$，其他 $f(0)$、$f\prime (0)$、${\lim }_{x\to 1}f\prime (x)$ 等值均无法确定。

T3 极限与导数 极限复合问题

极限复合，要求外层函数反函数存在（原函数在定义域内单调）

已知数列 $\{x_n\}$, 其中 $-\frac{\pi }{2}<x_n<\frac{\pi }{2}$

当 ${\lim }_{x\to \infty }\sin (\cos x_n)=A$ 时，$\sin x$ 在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 单调递增且连续。故 $\lim$ 可交换。

${\lim }_{n\to \infty }\cos x_n=\arcsin A$

故 ${\lim }_{n\to \infty }\cos x_n$存在

由于 $\cos x$ 在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 不是单调函数，故 ${\lim }_{n\to \infty }\cos x_n$ 极限不一定存在。

T4 放缩相关 三角和对数放缩

被积函数含有 $\sin x$、$\cos x$、$\tan x$、$\ln x$、$e^x$ 等函数时，可考虑用三角函数或对数函数的放缩不等式进行估计。

$$\begin{array}{c}\sin x<x<\tan x,0<x<\frac{\pi }{2}\\ \frac{2}{\pi }x<\sin x<x<\frac{\pi }{2}\sin x,0<x<\frac{\pi }{2}\\ \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x,x>-1,x\ne 0\\ x<e^x-1,x\ne 0\end{array}$$

T9 大数定律 切比雪夫不等式

设随机变量 $X$ 的数学期望为 $\mu$，方差为 ${\sigma }^2$，则对于任意 $ϵ>0$，有

$$P\{|X-\mu |\ge ϵ\}\le \frac{{\sigma }^2}{{ϵ}^2}$$

T10 数字特征 全期望公式和全方差公式

设随机变量 $X$、$Y$，则有

$$\begin{array}{rl}E(X)& =E_X[E(X|Y)]\\ D(X)& =E_X[D(X|Y)]+D_X[E(X|Y)]\end{array}$$

例如： $X\sim N(0,1)$，且在已知 $X=x$ 条件下，$Y|X=x\sim N(x,1)$，则

$$\begin{array}{rl}E(Y)& =E_X[E(Y|X)]=E_X[X]=0\\ D(Y)& =E_X[D(Y|X)]+D_X[E(Y|X)]=E_X[1]+D_X[X]=1+1=2\\ E(XY)& =E_X[E(XY|X)]=E_X[XE(Y|X)]=E_X[X^2]=1\\ \rho & =\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{1-0\cdot 0}{\sqrt{1\cdot 2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$$

T14 级数 收敛域 斯特林公式

$$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$$

故 $n!(\frac{e}{n}{)}^n\sim \sqrt{2\pi n}$ 发散。

T19 线面积分 第二类曲线积分解法

1. 拆分法：将曲线分成若干段，分别计算后相加。
2. 参数方程
3. 斯托克斯公式 转为第一类曲线积分（法向量好求时）
4. 投影或高斯公式 转为二重积分（曲面方程易得时）

T20 一元微分 凹函数充要条件

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，则$\forall x\in I,f^{\prime \prime }(x)\ge 0$的充要条件：

$$f(\frac{a+b}{2})+f^{\prime }(\frac{a+b}{2})(x-\frac{a+b}{2})\le f(x)\le f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),\forall a,b,x\in I$$

2018年

相似理论 相似必要条件

$$A\sim B\Rightarrow \{\begin{array}{l}f(A)\sim f(B)\\ r(A)=r(B)\\ \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)\\ \det (A)=\det (B)\end{array}$$

例如: 若 $\exists k\in \mathbb{R},r(A-kE)\ne r(B-kE)$，则A与B不相似

相似理论 实对称矩阵 相似充要条件

它们有相同的特征值（包括重数）。

每日一题

D348 级数 调和级数的上限与下限

对调和级数级数和 $H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$，有上限和下限 $\ln n<H_n<1+\ln n$

证明： 由 $\frac{1}{n+1}<\ln (1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}$

$H_n=1+{\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k+1}<1+{\sum }_{k=1}^{n-1}\ln (1+\frac{1}{k})=1+\ln n$

同理可得上界：$H_n<1+\ln n$

D347 旋转体体积、欧拉常数、交错级数和符号问题

多元积分 旋转体体积公式

${\mathrm{V}}_x=\pi {\int }_a^b[f(y){]}^2\mathrm{d}y$

例如： $y=\sin x,(0\le x\le n\pi )$ 绕 $x$ 轴旋转体积：$V=\pi {\int }_0^{n\pi }{\sin }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{n{\pi }^2}{2}$

级数 欧拉常数

$E=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln 2$

证明： 由 $\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n},-1<x\le 1$， 取 $x=1$ 即得。

级数 交错级数符号问题

若交错级数满足 Leibniz 判别法，则其和的符号与首项符号相同。

例如：

• $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$ 收敛，其和为正，因为首项为正。
• $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$ 收敛，其和为负，因为首项为负。

D346 级数 级数判敛 已知级数收敛推其他

已知 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n^2$ 敛散性不定，如 $a_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{\sqrt{n}}$。

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }\ln (1+a_n)$ 敛散性不定，如 $a_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{\sqrt{n}}$。原式即 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n-\frac{a_n^2}{2}+\frac{a_n^3}{3}-\cdots )$，由于 $\sum a_n$ 收敛，但 $\sum a_n^2$ 发散，故发散。

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_{2n}-a_{2n-1})$ 敛散性不定，如 $a_n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{\sqrt{n}}$。原式与 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 同敛散。

模拟卷

26李艳芳