CRC 校验

CRC 校验的计算与检验过程总结

CRC（循环冗余校验） 是一种常用的数据传输差错检测技术，其核心是利用模二除法（即按位异或）实现。结合上面的模二除法手算过程，CRC 的计算和检验流程可总结如下：

模二除法基本规则

• 运算规则类似十进制的长除法，但用的是异或（XOR），即 1+1=0，0+0=0，1+0=1。
• 不用借位和进位，只有 0 和 1。
• 只要被除数的前导位≥除数的位数，就继续除。

---

计算阶段（发送端）

• 选择生成多项式（除数） 通信双方预先约定一个生成多项式（如 1101），其二进制位数为 $r+1$，对应 CRC 校验码长度为 $r$ 位。

• 数据后补零 将原始数据（被除数）后面补上 $r$ 个 0，得到扩展数据。例如，数据为 101001000，除数为 1101（4 位），则补 3 个 0，变成 101001000000。

• 模二除法（异或运算） 用补零后的数据作为被除数，生成多项式作为除数，按模二除法（即异或）逐步计算，直到余数位数小于除数。 具体操作见上题手算过程：每次取当前余数的高位与除数对齐，做异或，余数左移补下一位，直到处理完全部位。

• 得到 CRC 校验码 最终得到的余数就是 CRC 校验码（长度为 $r$ 位，不足需补零）。

• 拼接发送 将 CRC 校验码附加到原始数据后，形成完整的数据帧发送。

检验阶段（接收端）

• 数据接收 接收端收到的数据帧包括原始数据和 CRC 校验码。

• 再次模二除法 用同样的生成多项式，对整个接收帧（原始数据 + 校验码）做模二除法。

• 判断余数

  • 若余数为 0，说明数据在传输过程中未发生差错。
  • 若余数不为 0，说明数据在传输过程中发生了错误。

关键点与本质

• 模二除法本质：
  • 运算过程只用异或（不进位、不借位），每一步都与普通长除法类似，但用异或代替减法。
  • 每次余数高位为 1 时，才与除数异或，否则直接移位补下一个数据位。
• 校验码长度：
  • CRC 校验码的位数总是比生成多项式少 1 位。
• 检错能力：
  • 生成多项式的选择直接影响 CRC 的检错能力，不同应用场景有不同标准多项式。

流程图简化

1. 发送端 原始数据 + r 位 0 → 模二除法 → 余数（CRC 码） → 拼接发送

2. 接收端 收到的数据帧 → 模二除法 → 余数为 0（正确）/非 0（错误）

举例说明（结合上题过程）

• 数据：101001000
• 生成多项式：1101（4 位）
• 补 3 个 0：101001000000
• 模二除法，按位异或，最终余数如上题所示为 4 位（假设 0100）
• 发送帧：1010010000100
• 接收端用同样方法除以 1101，若余数为 0 则无错，否则有错

总结： CRC 校验的核心是：发送端将数据补零后用生成多项式做模二除法，余数作为校验码附在数据后发送；接收端收到后用相同方法检验，余数为 0 即数据正确。整个过程本质是按位异或的长除法运算。