93 场论初步

 93 场论初步    

场的基本概念

• 数量场：空间区域 $\Omega$ 上的数量函数 $u(x,y,z)$，其图像可用等值面（$u(x,y,z)=C$）表示，如温度场、密度场。
• 向量场：空间区域 $\Omega$ 上的向量函数 $\mathbf{A}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$，其图像可用向量线（切线方向为场向量方向的曲线）表示，如速度场、电场、磁场。

投影

定义与符号

• 数量投影（标量投影）：记为 ${\text{Prj}}_{\mathbf{r}}\mathbf{a}$（或 ${\text{proj}}_{\mathbf{r}}\mathbf{a}$），表示向量 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{r}$ 方向上的投影值（标量）。 计算公式：${\text{Prj}}_{\mathbf{r}}\mathbf{a}=|\mathbf{a}|\cos \theta =\mathbf{a}\cdot {\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$，其中 $\theta$ 为 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{r}$ 的夹角，${\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|}$ 为 $\mathbf{r}$ 方向的单位向量。

• 向量投影：记为 ${\text{Proj}}_{\mathbf{r}}\mathbf{a}$（加粗或带箭头以示向量），表示投影到 $\mathbf{r}$ 方向的向量。 计算公式：${\text{Proj}}_{\mathbf{r}}\mathbf{a}=({\text{Prj}}_{\mathbf{r}}\mathbf{a}){\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}=\left(\mathbf{a}\cdot {\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}\right){\mathbf{e}}_{\mathbf{r}}$。

几何意义

• 数量投影描述 $\mathbf{a}$ 在 $\mathbf{r}$ 方向上的“投影长度”，可正（$\theta <90^{\circ }$）、可负（$\theta >90^{\circ }$）、可零（$\theta =90^{\circ }$）；向量投影则是与 $\mathbf{r}$ 共线、长度等于数量投影的向量。

注

• 若“$\text{Proj.r}$”后接其他向量（如 ${\text{Proj}}_{\mathbf{r}}\mathbf{a}$），需明确投影对象（如 $\mathbf{a}$）；单独的“$\text{Proj.r}$”通常表示“沿 $\mathbf{r}$ 方向的投影操作”。
• 在考研数学中，数量投影（${\text{Prj}}_{\mathbf{r}}\mathbf{a}$）更常用，例如场论中方向导数可表示为梯度与方向向量的数量投影：$\frac{\partial u}{\partial \mathbf{l}}=\nabla u\cdot {\mathbf{e}}_{\mathbf{l}}={\text{Prj}}_{\mathbf{l}}(\nabla u)$。

梯度（数量场的方向导数最大值）

• 定义：设数量场 $u(x,y,z)$ 可微，则梯度 $\text{grad}u=\nabla u$，其中 $\nabla =(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$ 为 Nabla 算子；
• 计算公式（直角坐标系）：$\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$；
• 几何意义：梯度方向是 $u$ 增加最快的方向，模 $|\nabla u|$ 是该方向的方向导数；梯度垂直于数量场 $u$ 的等值面 $u(x,y,z)=C$；
• 运算性质：$\nabla (u\pm v)=\nabla u\pm \nabla v$；$\nabla (uv)=u\nabla v+v\nabla u$；$\nabla f(u)=f^{\prime }(u)\nabla u$；$\nabla \times \nabla u=0$ (梯度场必为无旋场).

散度（向量场的通量密度）

• 定义：设向量场 $\mathbf{A}=(P,Q,R)$，则散度 $\text{div}\mathbf{A}=\nabla \cdot \mathbf{A}$；
• 计算公式 (直角坐标系)：$\nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$；
• 物理意义：$\text{div}\mathbf{A}(M)$ 表示向量场 $\mathbf{A}$ 在点 $M$ 的通量密度，$\text{div}\mathbf{A}>0$ 时 $M$ 为源，$\text{div}\mathbf{A}<0$ 时为汇，$\text{div}\mathbf{A}=0$ 时为无源场；
• 运算性质：$\nabla \cdot (\mathbf{A}\pm \mathbf{B})=\nabla \cdot \mathbf{A}\pm \nabla \cdot \mathbf{B}$；$\nabla \cdot (u\mathbf{A})=u\nabla \cdot \mathbf{A}+\nabla u\cdot \mathbf{A}$；$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0$ (旋度场必为无源场).

旋度（向量场的旋浴强度）

• 定义：设向量场 $\mathbf{A}=(P,Q,R)$，则旋度 $\text{rot}\mathbf{A}=\nabla \times \mathbf{A}$；
• 计算公式 (直角坐标系，行列式形式)：

$$\nabla \times \mathbf{A}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)$$

• 物理意义：$\text{rot}\mathbf{A}(M)$ 的模是向量场 $\mathbf{A}$ 绕 $M$ 点旋浴强度的最大值，方向由右手螺旋法则确定；$\text{rot}\mathbf{A}=0$ 时为无旋场；
• 运算性质：$\nabla \times (\mathbf{A}\pm \mathbf{B})=\nabla \times \mathbf{A}\pm \nabla \times \mathbf{B}$；$\nabla \times (u\mathbf{A})=u\nabla \times \mathbf{A}+\nabla u\times \mathbf{A}$；$\nabla \times \nabla u=0$.