83 曲面与空间曲线

空间曲面

曲面的表示方法

显式方程

曲面可以表示为 $z=f(x,y)$ 的形式，其中 $(x,y)$ 在某个区域 $D$ 内变化。

例：

• 抛物面：$z=x^2+y^2$
• 双曲抛物面（马鞍面）：$z=x^2-y^2$
• 椭圆抛物面：$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

隐式方程

曲面可以表示为 $F(x,y,z)=0$ 的形式。

例：

• 球面：$x^2+y^2+z^2-R^2=0$
• 椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1=0$
• 圆锥面：$x^2+y^2-z^2=0$

参数方程

曲面可以表示为参数形式：

$$\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$$

其中 $(u,v)$ 在某个参数区域内变化。

例：

• 球面：$\vec{r}(\theta ,\varphi )=(R\sin \varphi \cos \theta ,R\sin \varphi \sin \theta ,R\cos \varphi )$
• 圆柱面：$\vec{r}(\theta ,z)=(R\cos \theta ,R\sin \theta ,z)$

常见的二次曲面

椭球面

标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$

性质：

• 当 $a=b=c$ 时，为球面
• 有界闭曲面
• 关于坐标平面对称

椭圆抛物面

标准方程：$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$

性质：

• 开口向上的抛物面
• 顶点在原点
• 截面为椭圆或抛物线

双曲抛物面（马鞍面）

标准方程：$z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$

性质：

• 鞍点在原点
• 沿 $x$ 轴方向开口向上，沿 $y$ 轴方向开口向下
• 截面为双曲线或抛物线

单叶双曲面

标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$

性质：

• 无界曲面
• 关于坐标平面对称
• 沿 $z$ 轴方向无限延伸

双叶双曲面

标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$

性质：

• 由两个分离的叶片组成
• 关于坐标平面对称
• 在 $z=\pm c$ 附近有最小截面

椭圆锥面

标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}$

性质：

• 顶点在原点
• 关于坐标平面对称
• 截面为椭圆、双曲线或直线对

曲面的切平面与法线

隐式曲面的切平面

对于曲面 $F(x,y,z)=0$，在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处：

法向量：$\vec{n}=\nabla F{|}_{P_0}=(F_x,F_y,F_z){|}_{P_0}$

切平面方程：

$$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$$

法线方程：

$$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$$

显式曲面的切平面

对于曲面 $z=f(x,y)$，在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 处：

切平面方程：

$$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$

法线方程：

$$\frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=\frac{z-z_0}{-1}$$

参数曲面的切平面

对于参数曲面 $\vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$，在点 $P_0$ 对应参数 $(u_0,v_0)$ 处：

切向量：${\vec{r}}_u=\frac{\partial \vec{r}}{\partial u}$，${\vec{r}}_v=\frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$

法向量：$\vec{n}={\vec{r}}_u\times {\vec{r}}_v$

切平面方程：通过点 $P_0$ 且法向量为 $\vec{n}$ 的平面方程

空间曲线

空间曲线的表示方法

参数方程

空间曲线可以表示为：

$$\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)),t\in [a,b]$$

例：

• 直线：$\vec{r}(t)={\vec{r}}_0+t\vec{d}$
• 圆：$\vec{r}(t)=(R\cos t,R\sin t,0)$
• 螺旋线：$\vec{r}(t)=(R\cos t,R\sin t,ht)$

两曲面的交线

空间曲线可以表示为两个曲面的交线：

$$\{\begin{array}{l}{F}_1(x,y,z)=0\\ F_2(x,y,z)=0\end{array}$$

例：

• 球面与平面的交线（圆）
• 圆柱面与平面的交线（椭圆或抛物线）

投影方程

将空间曲线投影到坐标平面上得到的方程。

例：曲线在 $xy$ 平面上的投影通过消去 $z$ 得到。

空间曲线的切线与法平面

参数曲线的切线

对于参数曲线 $\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，在点 $P_0$ 对应参数 $t_0$ 处：

切向量：$\vec{T}={\vec{r}}^{\prime }(t_0)=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))$

切线方程：

$$\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}$$

法平面方程：

$$x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0$$

两曲面交线的切线

对于由两曲面 $F_1(x,y,z)=0$ 和 $F_2(x,y,z)=0$ 确定的交线，在点 $P_0$ 处：

切向量：$\vec{T}=\nabla F_1\times \nabla F_2{|}_{P_0}$

曲线的弧长、曲率与挠率

弧长

参数曲线 $\vec{r}(t)$ 从 $t=a$ 到 $t=b$ 的弧长为：

$$s={\int }_a^b|{\vec{r}}^{\prime }(t)|dt={\int }_a^b\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt$$

曲率

定义：曲率 $\kappa$ 表示曲线弯曲的程度。

计算公式：

$$\kappa =\frac{|{\vec{r}}^{\prime }\times {\vec{r}}^{\prime \prime }|}{|{\vec{r}}^{\prime }{|}^3}$$

特殊情况：

• 直线的曲率为 $0$
• 半径为 $R$ 的圆的曲率为 $\frac{1}{R}$

挠率

定义：挠率 $\tau$ 表示曲线偏离平面的程度。

计算公式：

$$\tau =\frac{({\vec{r}}^{\prime }\times {\vec{r}}^{\prime \prime })\cdot {\vec{r}}^{\prime \prime \prime }}{|{\vec{r}}^{\prime }\times {\vec{r}}^{\prime \prime }{|}^2}$$

特殊情况：

• 平面曲线的挠率为 $0$
• 圆柱螺旋线的挠率为常数

Frenet标架

对于空间曲线，在每一点可以建立一个正交标架：

单位切向量：$\vec{T}=\frac{{\vec{r}}^{\prime }}{|{\vec{r}}^{\prime }|}$

主法向量：$\vec{N}=\frac{{\vec{T}}^{\prime }}{|{\vec{T}}^{\prime }|}$

副法向量：$\vec{B}=\vec{T}\times \vec{N}$

Frenet公式：

$$\{\begin{array}{l}{\vec{T}}^{\prime }=\kappa \vec{N}\\ {\vec{N}}^{\prime }=-\kappa \vec{T}+\tau \vec{B}\\ {\vec{B}}^{\prime }=-\tau \vec{N}\end{array}$$

典型例题

例题1：求曲面的切平面方程

题目：求椭球面 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}=1$ 在点 $(1,3,2)$ 处的切平面方程。

解： 设 $F(x,y,z)=\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}+\frac{z^2}{16}-1$

计算偏导数：

$$F_x=\frac{x}{2},F_y=\frac{2y}{9},F_z=\frac{z}{8}$$

在点 $(1,3,2)$ 处：

$$F_x(1,3,2)=\frac{1}{2},F_y(1,3,2)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},F_z(1,3,2)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$

切平面方程为：

$$\frac{1}{2}(x-1)+\frac{2}{3}(y-3)+\frac{1}{4}(z-2)=0$$

化简得：

$$\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y+\frac{1}{4}z=\frac{1}{2}+2+\frac{1}{2}=3$$

即：$6x+8y+3z=36$ 或 $2x+\frac{8y}{3}+z=12$

例题2：求空间曲线的切线方程

题目：求曲线 $\vec{r}(t)=(t^2,t^3,t^4)$ 在 $t=1$ 处的切线方程。

解： 计算导数：

$${\vec{r}}^{\prime }(t)=(2t,3t^2,4t^3)$$

在 $t=1$ 处：

• 点坐标：$\vec{r}(1)=(1,1,1)$
• 切向量：${\vec{r}}^{\prime }(1)=(2,3,4)$

切线方程为：

$$\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{4}$$

例题3：求两曲面的交线

题目：求球面 $x^2+y^2+z^2=9$ 与平面 $x+y+z=3$ 的交线，并求该交线在 $xy$ 平面上的投影。

解： 第一步：求交线方程 交线由方程组确定：

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=9\\ x+y+z=3\end{array}$$

从第二个方程得：$z=3-x-y$

代入第一个方程：

$$x^2+y^2+(3-x-y{)}^2=9$$ $$x^2+y^2+9-6x-6y+2xy+x^2+y^2=9$$ $$2x^2+2y^2+2xy-6x-6y=0$$ $$x^2+y^2+xy-3x-3y=0$$

第二步：求在 $xy$ 平面上的投影 投影曲线的方程为：

$$x^2+y^2+xy-3x-3y=0$$

这是一个椭圆。可以通过配方或坐标变换进一步化简。

例题4：计算曲线的曲率

题目：计算螺旋线 $\vec{r}(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$ 的曲率。

解： 计算一阶和二阶导数：

$${\vec{r}}^{\prime }(t)=(-a\sin t,a\cos t,b)$$ $${\vec{r}}^{\prime \prime }(t)=(-a\cos t,-a\sin t,0)$$

计算叉积：

$${\vec{r}}^{\prime }\times {\vec{r}}^{\prime \prime }=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -a\sin t& a\cos t& b\\ -a\cos t& -a\sin t& 0\end{array}\right|$$ $$=\vec{i}(0\cdot a\cos t-b\cdot (-a\sin t))+\vec{j}(b\cdot (-a\cos t)-0\cdot (-a\sin t))+\vec{k}((-a\sin t)(-a\sin t)-a\cos t\cdot (-a\cos t))$$ $$=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2{\sin }^{2}t+a^2{\cos }^{2}t)=(ab\sin t,-ab\cos t,a^2)$$

计算模长：

$$|{\vec{r}}^{\prime }\times {\vec{r}}^{\prime \prime }|=\sqrt{(ab\sin t{)}^2+(-ab\cos t{)}^2+(a^2{)}^2}$$ $$=\sqrt{a^2{b}^2{\sin }^{2}t+a^2{b}^2{\cos }^{2}t+a^4}=\sqrt{a^2{b}^2+a^4}=a\sqrt{b^2+a^2}$$ $$|{\vec{r}}^{\prime }|=\sqrt{a^2{\sin }^{2}t+a^2{\cos }^{2}t+b^2}=\sqrt{a^2+b^2}$$

因此曲率为：

$$\kappa =\frac{|{\vec{r}}^{\prime }\times {\vec{r}}^{\prime \prime }|}{|{\vec{r}}^{\prime }{|}^3}=\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{(\sqrt{a^2+b^2}{)}^3}=\frac{a}{a^2+b^2}$$

例题5：求曲面上的最短路径

题目：在圆柱面 $x^2+y^2=1$ 上，求从点 $A(1,0,0)$ 到点 $B(0,1,h)$ 的最短路径长度。

解： 方法：将圆柱面展开为平面，在平面上求最短路径。

圆柱面的参数方程为：

$$x=\cos \theta ,y=\sin \theta ,z=z$$

展开后，$\theta$ 对应平面上的 $x$ 坐标，$z$ 对应平面上的 $y$ 坐标。

点 $A(1,0,0)$ 对应 $\theta =0$，$z=0$，即平面上的点 $(0,0)$ 点 $B(0,1,h)$ 对应 $\theta =\frac{\pi }{2}$，$z=h$，即平面上的点 $\left(\frac{\pi }{2},h\right)$

在展开的平面上，两点间的最短距离为：

$$d=\sqrt{{\left(\frac{\pi }{2}-0\right)}^2+(h-0{)}^2}=\sqrt{\frac{{\pi }^2}{4}+h^2}$$

因此，圆柱面上的最短路径长度为 $\sqrt{\frac{{\pi }^2}{4}+h^2}$。