82 空间平面与直线

本节主要介绍空间直线与平面的定义、标准方程及其彼此间的几何位置关系（包括相交、平行、垂直）与度量（夹角、距离）。

空间直线

1. 直线的确定条件与向量法：

   • 由空间中一个点和一条方向向量确定。
   • 由不共线的两点确定。

2. 直线的方程形式： 设直线 $L$ 过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，其方向向量为 $\mathbf{u}=(m,n,p)$。

   • 点向式（Standard Form）： $$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$ 说明：当方向向量的某个分量为零时，则分子也必为零，此时表示直线垂直于相应的坐标轴或平行于对应的坐标平面。例如，若 $m=0$，则 $\frac{x-x_0}{0}$ 不写作分数，而是写作 $x=x_0$ 和 $\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$。
   • 参数方程（Parametric Form）：令点向式的比值为参数 $t$，可得： $$\{\begin{array}{l}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\end{array}(t\text{ 为参数，表示在直线上从 }{P}_0\text{ 到任意点 }P(x,y,z)\text{ 的“时间步长” })$$
   • 一般方程：表示为两个相互平行的不一样的直线的相交，此为两个相截相交平面 $L$： $$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$ 这种形式的直线的方向向量可通过两平面的法向量 ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 和 ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$ 进行叉乘得到：$\mathbf{u}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2$。

空间平面

1. 平面的确定条件与向量法：

   • 由空间过其中一个点和与该平面垂直的法向量确定。
   • 或者由空间中不共线的三点确定。

2. 平面的方程形式： 设平面 $\Pi$ 过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，其法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$。

   • 点法式（Point-Normal Form）： $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$
   • 一般式（General Form）：展开点法式可得到： $$Ax+By+Cz+D=0$$ 其中 $D=-(A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0)$。通常直接从一般式中识别出法向量 $\mathbf{n}=(A,B,C)$。
   • 截距式（Intercept Form）：若平面与 $x,y,z$ 轴的截距分别为 $a,b,c$（均不为零），则其方程可表示为： $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

3. 推导：3 点确定一个平面的方程 (考查常见)，设三点为 $P_1(x_1,y_1,z_1)$, $P_2(x_2,y_2,z_2)$, $P_3(x_3,y_3,z_3)$。 步骤：

   1. 构造两个向量 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 和 $\overrightarrow{P_1{P}_3}$。
   2. 计算这两个向量的叉乘得到平面的法向量 $\mathbf{n}=\overrightarrow{P_1{P}_2}\times \overrightarrow{P_1{P}_3}$。
   3. 利用点法式，将任意一点（例如 $P_1$）和法向量 $\mathbf{n}$ 代入方程。 共面条件: 四点 $P_1,P_2,P_3,P_4$ 共面的充要条件是向量 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$, $\overrightarrow{P_1{P}_3}$, $\overrightarrow{P_1{P}_4}$ 共面，即它们的混合积为零：
   $$(\overrightarrow{P_1{P}_2}\times \overrightarrow{P_1{P}_3})\cdot \overrightarrow{P_1{P}_4}=0$$

空间中点、直线、平面之间的位置关系与度量

两平面的位置关系与夹角

设两平面分别为 ${\Pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ 和 ${\Pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$，法向量分别为 ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 和 ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$。

• 平行或重合：${\mathbf{n}}_1//{\mathbf{n}}_2⟺{\mathbf{n}}_1=k{\mathbf{n}}_2$ (即分量成比例：$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=k$)。
  • 平行不重合：满足以上比例，但 D 项不满足比例，即 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2}$。
  • 重合：各项系数均成比例 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$。
• 相交：上述比例关系不满足 (${\mathbf{n}}_1$ 和 ${\mathbf{n}}_2$ 不共线)。
• 垂直：${\mathbf{n}}_1\perp {\mathbf{n}}_2⟺{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0⟺A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0$。
• 两平面夾角：设两平面夹角为 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，其法向量的夹角为 $\phi \in [0,\pi ]$。 $\cos \theta =|\cos \phi |=\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{||{\mathbf{n}}_1||\cdot ||{\mathbf{n}}_2||}$。

两直线的的位置关系与夹角

设两直线 $L_1$ 过 $P_1(x_1,y_1,z_1)$，方向向量为 ${\mathbf{u}}_1=(m_1,n_1,p_1)$；$L_2$ 过 $P_2(x_2,y_2,z_2)$, 方向向量为 ${\mathbf{u}}_2=(m_2,n_2,p_2)$。常用辅助向量 $\overrightarrow{P_1{P}_2}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$ 来分析。

• 平行或重合：${\mathbf{u}}_1//{\mathbf{u}}_2⟺{\mathbf{u}}_1=k{\mathbf{u}}_2$ ($k\ne 0$)。 几何表现是分量成比例：$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$
  • 平行不重合： ${\mathbf{u}}_1//{\mathbf{u}}_2$ 且 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 不在直线 $L_1$ 或 $L_2$ 上，或简写为 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 与 ${\mathbf{u}}_1$ 不共线 (即 $\overrightarrow{P_1{P}_2}\times {\mathbf{u}}_1\ne 0$)。
  • 重合： ${\mathbf{u}}_1//{\mathbf{u}}_2$ 且 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ 与 ${\mathbf{u}}_1$ 共线 (即 $\overrightarrow{P_1{P}_2}\times {\mathbf{u}}_1=0$)。
• 相交：非平行 (${\mathbf{u}}_1$ 和 ${\mathbf{u}}_2$ 不共线) 且它们共面。（相交和不相交的异面是区别) 即混合积为零：$(\overrightarrow{P_1{P}_2}\times {\mathbf{u}}_1)\cdot {\mathbf{u}}_2=0$。
• 异面：非平行 (${\mathbf{u}}_1$ 和 ${\mathbf{u}}_2$ 不共线) 且不共面。混合积不为零：$(\overrightarrow{P_1{P}_2}\times {\mathbf{u}}_1)\cdot {\mathbf{u}}_2\ne 0)。$)
• 垂直：${\mathbf{u}}_1\perp {\mathbf{u}}_2⟺{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_2=0$.
• 两直线夹角：设两直线夹角为 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$。 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_2|}{||{\mathbf{u}}_1||\cdot ||{\mathbf{u}}_2||}$。

直线与平面的位置关系与夹角

设直线 $L$ 过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量 $\mathbf{u}=(m,n,p)$。

平面 $\Pi :Ax+By+Cz+D=0$， 法向量为 $\mathbf{n}=(A,B,C)$。

• 直线平行于平面或在平面内： $\mathbf{u}\perp \mathbf{n}⟺\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}=Am+Bn+Cp=0$。
  • 平行于平面但不相交： $\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}=0$, 且点 $P_0$ (或其它直线上一点) 不在平面 $\Pi$ 上，即 $A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\ne 0$。
  • 直线在平面内 ($L\subset \in \Pi$)： $\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}=0$, 且点 $P_0$ 在平面 $\Pi$ 上，即 $A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D=0$。
• 相交于一点： $\mathbf{u}$ 与 $\mathbf{n}$ 不垂直 ($\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}\ne 0$)。求交点的方法是将直线参数方程代入平面方程，解出参数 $t$ 即可。
• 直线垂直于平面： $\mathbf{u}//\mathbf{n}⟺\mathbf{u}=k\mathbf{n}$ ($k\ne 0$) (即方向向量分量与法向量分量成比例：$\frac{m}{A}=\frac{n}{B}=\frac{p}{C}$)。
• 直线与平面夹角：设两者夹角为 $\theta \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，它不是直线方向向量和平面法向量的夹角，而是后者的余角。 $\sin \theta =\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}|}{||\mathbf{u}||\cdot ||\mathbf{n}||}$。

距离公式

• a) 点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离： $$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
• b) 点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 到直线 $\frac{x-x_1}{m}=\frac{y-y_1}{n}=\frac{z-z_1}{p}$ 的距离： 设直线上一点 $P_1(x_1,y_1,z_1)$，方向向量 $\mathbf{u}=(m,n,p)$。 $$d=\frac{||\overrightarrow{P_1{P}_0}\times \mathbf{u}||}{||\mathbf{u}||}$$ 其几何意义为：以 $\overrightarrow{P_1{P}_0}$ 和 $\mathbf{u}$ 为边的平行四边形的面积除以 $\mathbf{u}$ 的模。
• c) 平行平面 $Ax+By+Cz+D_1=0$ 和 $Ax+By+Cz+D_2=0$ 之间的距离： （此时要求两平面的 $A,B,C$ 相同或者成比例，若不满足则需要进行系数统一调整） $$d=\frac{|D_1-D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
• d) 异面直线之间的距离。 设直线 $L_1$ 过 $P_1(x_1,y_1,z_1)$，方向向量 ${\mathbf{u}}_1=(m_1,n_1,p_1)$； $L_2$ 过 $P_2(x_2,y_2,z_2)$，方向向量 ${\mathbf{u}}_2=(m_2,n_2,p_2)$。 $$d=\frac{|(\overrightarrow{P_1{P}_2})\cdot ({\mathbf{u}}_1\times {\mathbf{u}}_2)|}{||{\mathbf{u}}_1\times {\mathbf{u}}_2||}$$ 这是一个涉及混合积的重要公式。分子是三个向量的混合积的绝对值 (以 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$, ${\mathbf{u}}_1$, ${\mathbf{u}}_2$ 张成的平行六面体的体积)，分母是 ${\mathbf{u}}_1$ 与 ${\mathbf{u}}_2$ 叉乘的模长 (以 ${\mathbf{u}}_1$ 和 ${\mathbf{u}}_2$ 为边的平行四边 形的面积）。