81 向量代数

高等数学中的向量代数注重自由向量及其空间直角坐标系的运用。在考研中，核心考察向量的基本概念、线性运算、内积（数量积）、外积（向量积）、以及混合积的定义、性质及几何应用。

向量与坐标

自由向量：既有大小又有方向的量，可以自由平移。用有向线段表示，其始点和终点可以任意指定，只要大小和方向不变，就看作是同一个向量。
向量的模：向量长度，用垂直线 $∣∣ MB ∣∣$ 表示。
零向量：模为零的向量，方向任意。
单位向量：模为 1 的向量。任一非零向量 $a$ 的单位向量为 $a_{0} = \frac{a}{∣∣ a ∣∣}$ 。
向量的坐标表示：在 пространстве三维直角坐标系中，以点 $(x, y, z)$ 为终点的向量 $OP$ 的坐标可表示为 $(x, y, z)$ 。或更一般地，设点 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则向量 $A B$ 的坐标为 $(x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ 。
距离公式：两点 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 之间的距离 $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$ ，也即向量 $A B$ 的模长。

向量的线性运算

加法与减法： $P_{1} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $P_{2} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 。 $a + b = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}, z_{1} + z_{2})$ $a - b = (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}, z_{1} - z_{2})$ 符合平行四边形法则和三角形法则。
数乘： $λ a = (λ x_{1}, λ y_{1}, λ z_{1})$ 。当 $λ > 0$ 时， $λ a$ 与 $a$ 同向；当 $λ < 0$ 时， $λ a$ 與 $a$ 反向。
性质：满足交换律、结合律、分配律等性质。常见的代数运算性质与实数的代数运算类似。
两向量平行的充要条件（共线）：非零向量 $a$ 和 $b$ 平行等价于存在实数 $λ \neq = 0$ ，使得 $b = λ a$ 。在坐标表示下相当于分量成比例： $\frac{x _{1}}{x _{2}} = \frac{y _{1}}{y _{2}} = \frac{z _{1}}{z _{2}} = λ$ (若分母为零，对应分子也为零)。

向量的数积 (点积/数量积/内积)

定义：设非零向量 $a$ 和 $b$ 所成的夹角为 $θ$ ( $0 \leq θ \leq π$ )。
- 几何定义： $a \cdot b = ∣∣ a ∣∣ \cdot ∣∣ b ∣∣ cos θ$ 。
- 坐标定义：设 $a = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ , $b = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ ，则 $a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}$ 。
性质：
- 交换律： $a \cdot b = b \cdot a$ 。
- 分配律： $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ 。
- 数乘结合律： $(λ a) \cdot b = λ (a \cdot b)$ 。
- $a \cdot a = ∣∣ a ∣ ∣^{2}$ ， $i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = 1$ 。
- $i \cdot j = j \cdot k = k \cdot i = 0$ (相互垂直的单位向量)。
几何应用：
- 两向量的夹角： $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣∣ a ∣∣ \cdot ∣∣ b ∣∣}$ 。
- 两向量垂直（正交）的充要条件：非零向量 $a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$ , 即 $a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z} = 0$ 。
- 投影：向量 $a$ 在 $b$ 方向上的投影定义为 $Prj_{b} a = ∣∣ a ∣∣ cos θ = \frac{a \cdot b}{∣∣ b ∣∣}$ 。

向量的向量积 (叉积/外积/矢量积)

定义：设 $a$ 和 $b$ 是不平行的非零向量，且向量 $a$ 按逆时针方向旋转到 $b$ 小于 $18 0^{\circ}$ 所经过角的非负值记为 $θ$ 。
- 几何定义：
  - 模长： $∣∣ a \times b ∣∣ = ∣∣ a ∣∣ \cdot ∣∣ b ∣∣ sin θ$ (平行四边形面积)。
  - 方向：单位向量 $n$ 的方向垂直于由 $a$ 和 $b$ 所构成的平面，且方向使 $a, b, n$ 按右手系法则排布（满足右手螺旋法则）。若 $a$ 与 $b$ 平行或其中之一为零向量，则叉积为零向量。
- 坐标定义：设 $a = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ , $b = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ ，则 $a \times b$ ，可写作行列式形式： $a \times b = i a_{x} b_{x} j a_{y} b_{y} k a_{z} b_{z} = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}) i - (a_{x} b_{z} - a_{z} b_{x}) j + (a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}) k$ 即 $a \times b = (a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})$ 。
性质：
- 反交换律： $a \times b = - (b \times a)$ 。
- 数乘结合律： $(λ a) \times b = a \times (λ b) = λ (a \times b)$ 。
- 分配律： $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$ 。
- $i \times j = k, j \times k = i, k \times i = j$ (循环序)。
- $i \times i = j \times j = k \times k = 0$ 。
几何应用：
- 构成平行四边形的面积：以 $a$ 和 $b$ 为邻边的平行四边形面积 $S = ∣∣ a \times b ∣∣$ 。
- 构成三角形的面积：以 $a$ 和 $b$ 为边的三角形面积 $S_{△} = \frac{1}{2} ∣∣ a \times b ∣∣$ 。
- 两向量平行（共线）的充要条件：非零向量 $a ∥ b ⟺ a \times b = 0$ (注意，零向量等于向量 $(0, 0, 0)$ !) 。

向量的混合积

定义：三个向量 $a, b, c$ 的混合积 $(a \times b) \cdot c$ 。顺序不同结果变号。
坐标表示设 $a = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ , $b = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ , $c = (c_{x}, c_{y}, c_{z})$ ，则它们的混合积为：

(a \times b) \cdot c = a_{x} b_{x} c_{x} a_{y} b_{y} c_{y} a_{z} b_{z} c_{z}

性质 轮转置不变性： $(a \times b) c = (b \times c) a = (c \times a) b$ ，并且等于 $a \cdot (b \times c)$ 。顺序变化则符号变化，如 $(a \times b) \cdot c = - (b \times a) \cdot c$ 。
几何应用 由同一顶点的三个不共面向量 $a, b, c$ 所构成的平行六面体的体积 $V = ∣ (a \times b) \cdot c ∣$ 。三向量共面的充要条件：若三向量 $a, b, c$ 不在一条直线上，那么它们共面的充要条件是它们的混合积为零，即 $(a \times b) \cdot c = 0$ 。

Okay, three, two, one, let's jam

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