71 常数项级数

常数项级数

正向级数

正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$，其中 $u_n\ge 0$。

• 收敛判据： 正项级数收敛的充要条件是其部分和数列 $S_n$ 有界。
• 常用审敛法：
  1. 比较审敛法：
     • 设有两个正项级数 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$。若 $u_n\le v_n$，则当 $\sum v_n$ 收敛时，$\sum u_n$ 也收敛；当 $\sum u_n$ 发散时，$\sum v_n$ 也发散 (大收小收，小散大散)。
     • 极限形式（常用）： 设 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=L$。
       • 若 $0<L<+\infty$，则 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 同敛散。
       • 若 $L=0$，且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛。
       • 若 $L=+\infty$，且 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散。
  2. 比值审敛法（达朗贝尔判别法）：
     • 设 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$。
       • 若 $\rho <1$，级数收敛。
       • 若 $\rho >1$ 或 $\rho =+\infty$，级数发散。
       • 若 $\rho =1$，方法失效。
  3. 根值审敛法（柯西判别法）：
     • 设 $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$。
       • 若 $\rho <1$，级数收敛。
       • 若 $\rho >1$ 或 $\rho =+\infty$，级数发散。
       • 若 $\rho =1$，方法失效。
  4. 积分审敛法：
     • 若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上非负、单调递减、连续，且 $u_n=f(n)$，则级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 与反常积分 ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$ 的敛散性相同。
• 两个重要的级数：
  • p- 级数： $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$。当 $p>1$ 时收敛；当 $p\le 1$ 时发散。
  • 几何级数（公比为 q）： $\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$。当 $|r|<1$ 时收敛，和为 $\frac{a}{1-r}$；当 $|r|\ge 1$ 时发散。

交错级数

形如 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n$ 或 $\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{u}_n$ ($u_n>0$) 的级数。

• 莱布尼茨审敛法： 若交错级数满足以下两个条件：
  1. $u_n$ 单调递减，即 $u_n\ge u_{n+1}$ ($n=1,2,\dots$)；
  2. $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。 则该交错级数收敛。
• 余项估计： 若级数收敛，其和为 $S$，部分和为 $S_n$，则其余项 $R_n=S-S_n$ 的绝对值满足 $|R_n|\le u_{n+1}$。

任意项级数

级数项可正可负，无固定规律。

绝对收敛与条件收敛

对于任意项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$：

• 绝对收敛： 如果取绝对值后的正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$ 收敛，则称原级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 绝对收敛。
• 条件收敛： 如果级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 收敛，而级数 $\sum _{n=1}^{\infty }|u_n|$ 发散，则称原级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 条件收敛。

基本结论

• 收敛性关系： 若级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$ 绝对收敛，则它一定收敛。反之不成立。
• 判别步骤： 判断任意项级数 $\sum u_n$ 的敛散性：
  1. 检验收敛的必要条件： 计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$。若极限不为 0 或不存在，则级数发散。
  2. 检验是否绝对收敛： 研究正项级数 $\sum |u_n|$ 的敛散性。若 $\sum |u_n|$ 收敛，则原级数绝对收敛。
  3. 检验是否条件收敛： 若 $\sum |u_n|$ 发散，需回到原级数 $\sum u_n$ 进行判断。若 $\sum u_n$ 是交错级数且满足莱布尼茨判别法，则原级数条件收敛。否则，通常认为是发散（考研范围内）。
• 级数性质：
  • 绝对收敛级数的任意重排（改变项的次序）不改变其收敛性及和。
  • 条件收敛级数经重排后，其敛散性可能改变，收敛时其和也可能改变。
• 若级数 $\sum u_n$ 条件收敛，将其中的所有正项按原来的顺序构成级数 $\sum p_k$，所有负项的绝对值按原来的顺序构成级数 $\sum q_k$，则这两个正项级数均发散。
• 收敛级数加减运算的敛散性结论：
  • (绝对收敛级数) $\pm$ (绝对收敛级数) = 绝对收敛级数
  • (绝对收敛级数) $\pm$ (条件收敛级数) = 条件收敛级数
  • (条件收敛级数) $\pm$ (条件收敛级数) = 敛散性不确定 (结果可能为绝对收敛、条件收敛)

做题方法

级数敛散性结论

• 选择题通常优先考虑必要条件（$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$）和绝对收敛（研究 $\sum |u_n|$），快速排除选项。

• 解答题（判断敛散性）的通用思路和步骤：

  1. 第一步：检查收敛的必要条件。 计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n$。若极限不等于 0 或不存在，则级数发散。这是最优先的步骤。

  2. 第二步：判断级数类型并选择主要方法。

     • 正项级数：
       • 首选比较审敛法的极限形式。通过等价无穷小或抓大头（只看分子分母的最高次幂项）的方式，快速找到一个合适的 p- 级数或几何级数 $\sum v_n$ 进行比较。这是最核心、最常用的方法。
       • 当通项 $u_n$ 含有阶乘 ($n!$) 或指数的连乘时，优先考虑比值审敛法。
       • 当通项 $u_n$ 整体呈现 $n$ 次方形式，如 $[f(n){]}^n$，优先考虑根值审敛法。
       • 当通项容易看作一个单调递减的函数时，可考虑积分审敛法。
     • 交错级数：
       • 直接使用莱布尼茨审敛法，验证 $u_n$ 是否单调递减趋于 0。
     • 任意项级数：
       • 先判断是否绝对收敛：即考察正项级数 $\sum |u_n|$ 的敛散性。若收敛，则原级数绝对收敛。
       • 再判断是否条件收敛：若 $\sum |u_n|$ 发散，回到原级数 $\sum u_n$。如果它是一个满足莱布尼茨条件的交错级数，则原级数条件收敛。

• 级数求和的常用技巧：

  1. 公式法：直接套用等比级数（几何级数） 或已知的 p- 级数特殊值（如 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}=1$）。
  2. 裂项相消法：将通项 $u_n$ 分解为 $f(n)-f(n+k)$ 的形式，写出部分和 $S_n$ 进行对消求极限。常见形式如 $\frac{A}{n(n+k)}=\frac{A}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$。
  3. 转化为幂级数求和：
     • 观察常数项级数的结构，看它是否为某个已知麦克劳林展开式在特定点 $x_0$ 的取值。
     • 常用的麦克劳林展开式有：
       • $e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$
       • $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
       • $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
       • $\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}$
       • $\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$
     • 有时需要借助逐项积分或逐项求导得到目标级数对应的和函数。

• 重要技巧与补充：

  • 等价无穷小替换是比较审敛法中的利器，但只能用于正项级数或判断绝对收敛性，不能直接用于条件收敛的判断。
  • 泰勒公式是等价无穷小的进阶版。当低阶项相消时（如 $\sin (\frac{1}{n})-\frac{1}{n}$），需要用泰勒公式展开到更高阶，以找到第一个非零项来确定其敛散性。
  • 放缩法：在比较判别法中，对通项进行适当的放大或缩小（如舍去分母中的次要项使分母变小，从而分数值变大），以构造一个敛散性已知的级数进行比较。