62 三重积分

三重积分的概念

定义

设函数 $f(x,y,z)$ 在有界闭区域 $\Omega$ 内有界。将区域 $\Omega$ 任意分割成 $n$ 个小区域 $\Delta V_1,\Delta V_2,\dots ,\Delta V_n$，其体积分别为 $\Delta V_1,\Delta V_2,\dots ,\Delta V_n$。在每个小区域内任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)$，作乘积 $f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$，并求和：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$$

如果当各小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这个和式的极限存在且与区域的分割方法和点的选取无关，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在区域 $\Omega$ 上的三重积分，记作：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i,{\zeta }_i)\Delta V_i$$

其中：

• $f(x,y,z)$ 称为被积函数
• $\Omega$ 称为积分区域
• $dV=dxdydz$ 称为体积元素
• $x,y,z$ 称为积分变量

几何意义

当 $f(x,y,z)=1$ 时，三重积分 ${\iiint }_{\Omega }dxdydz$ 表示区域 $\Omega$ 的体积。

物理意义

当 $f(x,y,z)$ 表示密度函数时，三重积分 ${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV$ 表示区域 $\Omega$ 内物体的质量。

三重积分的性质

三重积分具有与二重积分类似的性质：

1. 线性性：

   $${\iiint }_{\Omega }[\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)]dV=\alpha {\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV+\beta {\iiint }_{\Omega }g(x,y,z)dV$$

2. 区域可加性： 若区域 $\Omega ={\Omega }_1\cup {\Omega }_2$，且 ${\Omega }_1$ 与 ${\Omega }_2$ 无公共内点，则：

   $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\iiint }_{{\Omega }_1}f(x,y,z)dV+{\iiint }_{{\Omega }_2}f(x,y,z)dV$$

3. 保号性： 若在 $\Omega$ 上 $f(x,y,z)\ge g(x,y,z)$，则：

   $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV\ge {\iiint }_{\Omega }g(x,y,z)dV$$

4. 估值定理： 设 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x,y,z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上的最大值和最小值，$V$ 是 $\Omega$ 的体积，则：

   $$m\cdot V\le {\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV\le M\cdot V$$

5. 中值定理： 设 $f(x,y,z)$ 在闭区域 $\Omega$ 上连续，$V$ 是 $\Omega$ 的体积，则在 $\Omega$ 内至少存在一点 $(\xi ,\eta ,\zeta )$，使得：

   $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV=f(\xi ,\eta ,\zeta )\cdot V$$

三重积分的计算

直角坐标系下的计算

投影法（先一后二）

设区域 $\Omega$ 在 $xOy$ 平面上的投影为 $D_{xy}$，对于 $D_{xy}$ 内的每一点 $(x,y)$，相应的竖直线段为 $z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y)$，则：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iint }_{D_{xy}}\left[{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz\right]dxdy$$

计算步骤：

1. 确定积分区域 $\Omega$ 在坐标平面上的投影
2. 确定 $z$ 的变化范围
3. 先对 $z$ 积分，再计算二重积分

截面法（先二后一）

设区域 $\Omega$ 可以表示为 $a\le z\le b$，对于每个固定的 $z$，截面 $D(z)$ 是 $xOy$ 平面内的区域，则：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\int }_a^b\left[{\iint }_{D(z)}f(x,y,z)dxdy\right]dz$$

计算步骤：

1. 确定 $z$ 的变化范围 $[a,b]$
2. 对于每个固定的 $z$，确定截面 $D(z)$
3. 先计算二重积分，再对 $z$ 积分

逐次积分法

根据积分区域的特点，选择合适的积分次序：

1. $dzdydx$ 次序：

   $${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\int }_a^{b}dx{\int }_{y_1(x)}^{y_2(x)}dy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$

2. 其他次序：类似地可以写出 $dxdzdy$、$dydxdz$ 等次序的积分

柱坐标系下的计算

坐标变换

$$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \\ z=z\end{array}$$

其中 $\rho \ge 0$，$0\le \theta \le 2\pi$，$-\infty <z<+\infty$。

雅可比行列式

$$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\rho \sin \theta & 0\\ \sin \theta & \rho \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=\rho$$

因此：

$$dxdydz=\rho d\rho d\theta dz$$

柱坐标下的三重积分

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\cdot \rho d\rho d\theta dz$$

其中 ${\Omega }^{\prime }$ 是区域 $\Omega$ 在柱坐标系下的表示。

使用柱坐标的情况

1. 积分区域关于 $z$ 轴对称（如圆柱、圆锥等）
2. 被积函数含有 $x^2+y^2$ 或 $\sqrt{x^2+y^2}$
3. 积分区域在 $xOy$ 平面上的投影是圆形或扇形

球坐标系下的计算

坐标变换

$$\{\begin{array}{l}x=r\sin \varphi \cos \theta \\ y=r\sin \varphi \sin \theta \\ z=r\cos \varphi \end{array}$$

其中 $r\ge 0$，$0\le \varphi \le \pi$，$0\le \theta \le 2\pi$。

• $r$：点到原点的距离
• $\varphi$：向量 $\overrightarrow{OP}$ 与 $z$ 轴正方向的夹角（极角）
• $\theta$：点 $P$ 在 $xOy$ 平面上投影的极角（方位角）

雅可比行列式

$$J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\varphi ,\theta )}=r^2\sin \varphi$$

因此：

$$dxdydz=r^2\sin \varphi drd\varphi d\theta$$

球坐标下的三重积分

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dxdydz={\iiint }_{{\Omega }^{\prime }}f(r\sin \varphi \cos \theta ,r\sin \varphi \sin \theta ,r\cos \varphi )\cdot r^2\sin \varphi drd\varphi d\theta$$

使用球坐标的情况

1. 积分区域是球、球壳、圆锥等关于原点对称的区域
2. 被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 或 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$
3. 积分区域具有球对称性

积分次序和坐标系的选择

选择原则

1. 积分区域的形状：

   • 长方体、平行六面体 → 直角坐标
   • 圆柱体、圆锥体 → 柱坐标
   • 球体、球壳 → 球坐标

2. 被积函数的形式：

   • 含 $x^2+y^2$ → 柱坐标
   • 含 $x^2+y^2+z^2$ → 球坐标
   • 其他情况 → 直角坐标

3. 积分的难易程度：选择使积分计算最简单的坐标系和积分次序

典型例题

例 1：直角坐标下的三重积分

题目：计算 ${\iiint }_{\Omega }xyzdxdydz$，其中 $\Omega$ 是由平面 $x=0$、$y=0$、$z=0$ 和 $x+y+z=1$ 围成的四面体。

解：

积分区域：$\Omega =\{(x,y,z)|x\ge 0,y\ge 0,z\ge 0,x+y+z\le 1\}$ 可以表示为：$0\le x\le 1$，$0\le y\le 1-x$，$0\le z\le 1-x-y$

$${\iiint }_{\Omega }xyzdxdydz={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1-x}dy{\int }_0^{1-x-y}xyzdz$$

先对 $z$ 积分：

$${\int }_0^{1-x-y}xyzdz=xy{\int }_0^{1-x-y}zdz=xy{\left[\frac{z^2}{2}\right]}_0^{1-x-y}=\frac{xy(1-x-y{)}^2}{2}$$

再对 $y$ 积分：

$${\int }_0^{1-x}\frac{xy(1-x-y{)}^2}{2}dy=\frac{x}{2}{\int }_0^{1-x}y(1-x-y{)}^{2}dy$$

设 $u=1-x-y$，则 $y=1-x-u$，$dy=-du$ 当 $y=0$ 时，$u=1-x$；当 $y=1-x$ 时，$u=0$

$$\frac{x}{2}{\int }_0^{1-x}y(1-x-y{)}^{2}dy=\frac{x}{2}{\int }_{1-x}^0(1-x-u)u^2(-du)=\frac{x}{2}{\int }_0^{1-x}(1-x-u)u^{2}du$$ $$=\frac{x}{2}{\int }_0^{1-x}[(1-x)u^2-u^3]du=\frac{x}{2}{\left[(1-x)\frac{u^3}{3}-\frac{u^4}{4}\right]}_0^{1-x}$$ $$=\frac{x}{2}\left[\frac{(1-x{)}^4}{3}-\frac{(1-x{)}^4}{4}\right]=\frac{x(1-x{)}^4}{2}\cdot \frac{1}{12}=\frac{x(1-x{)}^4}{24}$$

最后对 $x$ 积分：

$${\int }_0^1\frac{x(1-x{)}^4}{24}dx=\frac{1}{24}{\int }_0^{1}x(1-x{)}^{4}dx$$

利用贝塔函数：${\int }_0^1{x}^{m-1}(1-x{)}^{n-1}dx=B(m,n)=\frac{\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}$ 这里 $m=2$，$n=5$：

$${\int }_0^{1}x(1-x{)}^{4}dx=B(2,5)=\frac{\Gamma (2)\Gamma (5)}{\Gamma (7)}=\frac{1!\cdot 4!}{6!}=\frac{24}{720}=\frac{1}{30}$$

因此：

$${\iiint }_{\Omega }xyzdxdydz=\frac{1}{24}\cdot \frac{1}{30}=\frac{1}{720}$$

例 2：柱坐标下的三重积分

题目：计算 ${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)dxdydz$，其中 $\Omega$ 是由 $x^2+y^2\le 4$，$0\le z\le 3$ 围成的圆柱体。

解：

由于积分区域是圆柱体，被积函数含有 $x^2+y^2$，适合用柱坐标。

在柱坐标下：

• $x^2+y^2={\rho }^2$
• 积分区域：$0\le \rho \le 2$，$0\le \theta \le 2\pi$，$0\le z\le 3$
• $dxdydz=\rho d\rho d\theta dz$

$${\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2)dxdydz={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{2}d\rho {\int }_0^3{\rho }^2\cdot \rho dz$$ $$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^2{\rho }^{3}d\rho {\int }_0^{3}dz$$ $$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^2{\rho }^{3}d\rho \cdot 3$$ $$=3{\int }_0^{2\pi }d\theta {\left[\frac{{\rho }^4}{4}\right]}_0^2$$ $$=3{\int }_0^{2\pi }\frac{16}{4}d\theta =12{\int }_0^{2\pi }d\theta =24\pi$$

例 3：球坐标下的三重积分

题目：计算 ${\iiint }_{\Omega }\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz$，其中 $\Omega$ 是球体 $x^2+y^2+z^2\le a^2$。

解：

由于积分区域是球体，被积函数含有 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，适合用球坐标。

在球坐标下：

• $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r$
• 积分区域：$0\le r\le a$，$0\le \varphi \le \pi$，$0\le \theta \le 2\pi$
• $dxdydz=r^2\sin \varphi drd\varphi d\theta$

$${\iiint }_{\Omega }\sqrt{x^2+y^2+z^2}dxdydz={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi {\int }_0^{a}r\cdot r^{2}dr$$ $$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi {\int }_0^a{r}^{3}dr$$ $$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi {\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^a$$ $$=\frac{a^4}{4}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi }\sin \varphi d\varphi$$ $$=\frac{a^4}{4}{\int }_0^{2\pi }d\theta {\left[-\cos \varphi \right]}_0^{\pi }$$ $$=\frac{a^4}{4}{\int }_0^{2\pi }[-\cos \pi +\cos 0]d\theta$$ $$=\frac{a^4}{4}{\int }_0^{2\pi }2d\theta =\frac{a^4}{2}\cdot 2\pi =\pi a^4$$

例 4：计算体积

题目：求由曲面 $z=x^2+y^2$ 和 $z=2-x^2-y^2$ 围成的立体的体积。

解：

首先确定两曲面的交线：

$$x^2+y^2=2-x^2-y^2$$ $$2(x^2+y^2)=2$$ $$x^2+y^2=1$$

立体区域：$\Omega =\{(x,y,z)|x^2+y^2\le 1,x^2+y^2\le z\le 2-x^2-y^2\}$ 体积：

$$V={\iiint }_{\Omega }dxdydz={\iint }_{x^2+y^2\le 1}{\int }_{x^2+y^2}^{2-x^2-y^2}dzdxdy$$ $$={\iint }_{x^2+y^2\le 1}[2-x^2-y^2-(x^2+y^2)]dxdy$$ $$={\iint }_{x^2+y^2\le 1}[2-2(x^2+y^2)]dxdy$$

使用极坐标：$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，$dxdy=\rho d\rho d\theta$

$$V={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1[2-2{\rho }^2]\rho d\rho$$ $$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^1(2\rho -2{\rho }^3)d\rho$$ $$={\int }_0^{2\pi }{\left[{\rho }^2-\frac{{\rho }^4}{2}\right]}_0^{1}d\theta$$ $$={\int }_0^{2\pi }\left(1-\frac{1}{2}\right)d\theta =\frac{1}{2}\cdot 2\pi =\pi$$

例 5：质心计算

题目：求均匀半球体 $x^2+y^2+z^2\le a^2$，$z\ge 0$ 的质心。

解：

由于半球体关于 $xOz$ 平面和 $yOz$ 平面对称，质心在 $z$ 轴上，即 $\bar{x}=\bar{y}=0$。

只需计算 $\bar{z}$：

$$\bar{z}=\frac{{\iiint }_{\Omega }zdV}{{\iiint }_{\Omega }dV}$$

使用球坐标，半球体的范围：$0\le r\le a$，$0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$，$0\le \theta \le 2\pi$ 分母（半球体积）：

$${\iiint }_{\Omega }dV={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /2}\sin \varphi d\varphi {\int }_0^a{r}^{2}dr$$ $$=2\pi \cdot [-\cos \varphi {]}_0^{\pi /2}\cdot \frac{a^3}{3}=2\pi \cdot 1\cdot \frac{a^3}{3}=\frac{2\pi a^3}{3}$$

分子：

$${\iiint }_{\Omega }zdV={\iiint }_{\Omega }r\cos \varphi \cdot r^2\sin \varphi drd\varphi d\theta$$ $$={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /2}\cos \varphi \sin \varphi d\varphi {\int }_0^a{r}^{3}dr$$ $$=2\pi \cdot {\int }_0^{\pi /2}\cos \varphi \sin \varphi d\varphi \cdot \frac{a^4}{4}$$ $$=2\pi \cdot {\left[\frac{{\sin }^2\varphi }{2}\right]}_0^{\pi /2}\cdot \frac{a^4}{4}$$ $$=2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{a^4}{4}=\frac{\pi a^4}{4}$$

因此：

$$\bar{z}=\frac{\frac{\pi a^4}{4}}{\frac{2\pi a^3}{3}}=\frac{\pi a^4}{4}\cdot \frac{3}{2\pi a^3}=\frac{3a}{8}$$

质心坐标：$\left(0,0,\frac{3a}{8}\right)$