52 偏导数与全微分计算

偏导数与全微分

偏导数

• 定义： 设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内有定义。

  • 对 $x$ 的偏导数，物理意义：固定 $y$ 值，函数 $z$ 随 $x$ 变化的瞬时变化率。
  $$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
  • 对 $y$ 的偏导数，物理意义：固定 $x$ 值，函数 $z$ 随 $y$ 变化的瞬时变化率。
  $$\frac{\partial z}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}=f_y(x_0,y_0)=\underset{\Delta y\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}$$

• 计算： 求某一变量的偏导数时，将其他变量视为常数，按照一元函数求导法则进行运算。

• 高阶偏导数： 对偏导数再求偏导数。例如 $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$, $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$。

  • 混合偏导数： $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)$, $\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)$。
  • 定理： 若 $f_{xy}(x,y)$ 和 $f_{yx}(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，则 $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$（偏导数与求导次序无关）。

全微分与可微性

可微性的定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。如果函数的全增量 $\Delta z$ 可以表示为：

$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$

其中 $A$ 和 $B$ 是不依赖于 $\Delta x,\Delta y$ 的常数，$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，且 ${\lim }_{\rho \to 0}o(\rho )=0$，那么称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微。

若函数可微，则必有 $A=f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 和 $B=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$。

可微性的判别法（定义法）

根据定义，判断函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 是否可微，分为两步：

1. 求出偏导数 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)$ 和 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)$。若其一不存在，则函数不可微。
2. 若偏导数均存在，检验以下极限是否为零： ${\lim }_{\begin{array}{c}\Delta x\to 0\\ \Delta y\to 0\end{array}}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y]}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$ 若极限等于 $0$，则函数可微；否则不可微。

对于在原点 $(0,0)$ 处的可微性判断，上式简化为：

${\lim }_{\begin{array}{c}x\to 0\\ y\to 0\end{array}}\frac{f(x,y)-f(0,0)-[f_x^{\prime }(0,0)x+f_y^{\prime }(0,0)y]}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$

在计算这类极限时，常使用夹逼定理或极坐标代换。

全微分

若函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，则其全增量的线性主部

$dz=f_x^{\prime }(x_0,y_0)dx+f_y^{\prime }(x_0,y_0)dy$

称为函数在该点的全微分。

连续、偏导数存在与可微的关系

这三者之间的关系是重要的考点：

• 可微 $\Rightarrow$ 连续
• 可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在
• 连续 $\nRightarrow$ 可微 （反例：$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $(0,0)$ 处连续但不可微）
• 偏导数存在 $\nRightarrow$ 可微 （偏导数存在仅保证了函数沿坐标轴方向的变化，但可微性要求在所有方向上都能被线性函数良好近似）
• 偏导数存在 $\nRightarrow$ 连续 (这是一个更强的结论)

可微的充分条件：若函数 $f(x,y)$ 的偏导数 $f_x^{\prime }(x,y)$ 和 $f_y^{\prime }(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内连续，则 $f(x,y)$ 在该点可微。这是判断可微性的一个简便方法，但当偏导函数在某点不连续或为分段函数时，必须回归定义法进行判断。

复合函数求导法则

• 链式法则： 若 $z=f(u,v)$，其中 $u=\varphi (x,y)$，$v=\psi (x,y)$，且各函数均可偏导，则复合函数 $z=f(\varphi (x,y),\psi (x,y))$ 对 $x,y$ 的偏导数为：

  $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

  该法则可以通过画树形图方便理解。

隐函数求导法则

• 方程 $F(x,y)=0$ 确定隐函数 $y=y(x)$： 若 $F(x,y)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 某邻域内可确定隐函数 $y=y(x)$，且 $\frac{\partial F}{\partial y}\ne 0$，则： $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}$$
• 方程 $F(x,y,z)=0$ 确定隐函数 $z=z(x,y)$： 若 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 某邻域内可确定隐函数 $z=z(x,y)$，且 $\frac{\partial F}{\partial z}\ne 0$，则： $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial z}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\partial F/\partial y}{\partial F/\partial z}$$
• 方程组确定隐函数： 在高数一教材中通常不作过多要求，但在实际考研中需掌握基本思想。

方向导数与梯度

方向导数 (Directional Derivative)

• 概念： 偏导数反映了函数沿坐标轴方向的变化率。方向导数则推广了这一概念，表示函数沿任意指定方向的变化率。

• 定义： 设函数 $u=f(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内有定义。$L$ 是从 $P_0$ 出发，给定方向 $\vec{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 的单位向量（$\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 是方向余弦，且 ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$）。 若极限

  $$\frac{\partial u}{\partial l}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta ,z_0+t\cos \gamma )-f(x_0,y_0,z_0)}{t}$$

  存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 沿方向 $L$ 的方向导数。

  （注：对于二元函数 $u=f(x,y)$，方向向量 $\vec{l}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，其中 $\alpha$ 是方向向量与 $x$ 轴正方向的夹角，或用单位向量 $\vec{e}=(e_x,e_y)$ 表示）

• 计算公式（存在偏导数且偏导数连续时）： 函数 $u=f(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 沿方向 $\vec{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$ 的方向导数为：

  $$\frac{\partial u}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}\cos \beta +\frac{\partial f}{\partial z}{|}_{(x_0,y_0,z_0)}\cos \gamma$$

  对于二元函数 $u=f(x,y)$，方向 $\vec{l}=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$：

  $$\frac{\partial u}{\partial l}{|}_{(x_0,y_0)}=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{(x_0,y_0)}\sin \alpha$$

  注意： 方向向量 $\vec{l}$ 必须是单位向量。如果题目给出的是非单位向量 $\vec{v}$，需要先将其单位化：$\vec{l}=\frac{\vec{v}}{||\vec{v}||}$。

• 几何意义（二元函数）： 方向导数表示函数曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 沿给定方向的切线斜率。

• 物理意义： 方向导数表示物理量 $u$ 在给定点沿给定方向的变化率。

梯度 (Gradient)

• 定义： 对于函数 $u=f(x,y,z)$，其梯度是一个向量，记作 $\nabla u$ 或 $\mathbf{grad}u$，定义为：

  $$\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$$

  对于二元函数 $u=f(x,y)$：

  $$\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)$$

• 梯度与方向导数的关系： 利用向量点积的形式，方向导数可表示为梯度的分量形式与方向单位向量的分量形式的点积：

  $$\frac{\partial u}{\partial l}=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\nabla u\cdot \vec{l}$$

  该点积表示为 $||\nabla u||\cdot ||\vec{l}||\cos \theta$，其中 $\theta$ 是 $\nabla u$ 与 $\vec{l}$ 之间的夹角。由于 $\vec{l}$ 是单位向量，$||\vec{l}||=1$，所以：

  $$\frac{\partial u}{\partial l}=||\nabla u||\cos \theta$$

• 性质（最重要考点）：

  1. 最大变化率方向： 当 $\cos \theta =1$（即 $\theta =0$）时，方向导数取得最大值。这说明当方向 $\vec{l}$ 与梯度方向一致时，函数值增长最快。 最大方向导数值为 ${\frac{\partial u}{\partial l}}_{\max }=||\nabla u||=\sqrt{{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)}^2}$。
  2. 最小变化率方向： 当 $\cos \theta =-1$（即 $\theta =\pi$）时，方向导数取得最小值。这说明当方向 $\vec{l}$ 与梯度方向相反时，函数值减小最快。 最小方向导数值为 ${\frac{\partial u}{\partial l}}_{\min }=-||\nabla u||$。
  3. 零变化率方向： 当 $\cos \theta =0$（即 $\theta =\frac{\pi }{2}$）时，方向导数为零。这说明在与梯度垂直的方向上，函数值不发生变化。在几何上，这个方向是等值面（或等高线）的切线方向。

• 应用： 求解函数在某点沿某一方向的变化率；寻找函数增长或减小最快的方向及其最大/最小变化率。