51 重极限、连续、偏导数、全微分（概念、理论）

多元函数的极限

二重极限的定义

设函数 $f(x,y)$ 在点 $P_0(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 $A$，使得对于任意给定的正数 $ϵ$，总存在正数 $\delta$，当点 $(x,y)$ 满足

$$0<\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}<\delta$$

时，恒有 $|f(x,y)-A|<ϵ$，则称 $A$ 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时的极限。

极限的性质

1. 唯一性：若极限存在，则极限值唯一
2. 局部有界性：若极限存在，则函数在该点的某个邻域内有界
3. 运算法则：若 ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=A$，${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}g(x,y)=B$，则：
   • ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}[f(x,y)\pm g(x,y)]=A\pm B$
   • ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}[f(x,y)\cdot g(x,y)]=A\cdot B$
   • ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}\frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{A}{B}$ （$B\ne 0$）

极限存在的判定

重要定理：二重极限 ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在的充要条件是沿任意路径趋于 $(x_0,y_0)$ 时的极限都存在且相等。

常用方法：

1. 路径法：选择不同路径，如果得到不同的极限值，则极限不存在
2. 极坐标法：令 $x-x_0=r\cos \theta$，$y-y_0=r\sin \theta$
3. 夹逼定理：利用不等式估计

多元函数的连续性

连续性的定义

函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续，当且仅当：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

即：

1. $f(x_0,y_0)$ 存在
2. ${\lim }_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)$ 存在
3. 极限值等于函数值

连续性的性质

1. 连续函数的四则运算：连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍连续
2. 复合函数的连续性：连续函数的复合仍连续
3. 有界闭区域上连续函数的性质：
   • 有界性：在有界闭区域上连续的函数必有界
   • 最值性：在有界闭区域上连续的函数必能取到最大值和最小值
   • 一致连续性：在有界闭区域上连续的函数必一致连续
   • 介值性：连续函数具有介值性质

偏导数

偏导数的定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果极限

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

存在，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作：

$$f_x(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}=\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(x_0,y_0)}$$

类似地定义对 $y$ 的偏导数 $f_y(x_0,y_0)$。

偏导数的几何意义

• $f_x(x_0,y_0)$ 表示曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处沿 $x$ 方向的切线斜率
• $f_y(x_0,y_0)$ 表示曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ 处沿 $y$ 方向的切线斜率

高阶偏导数

二阶偏导数：

$$f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$

混合偏导数相等的条件：如果 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$。

全微分

全微分的定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义，如果函数在该点的全增量

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

可以表示为

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$$

其中 $A$、$B$ 是不依赖于 $\Delta x$、$\Delta y$ 的常数，$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，$o(\rho )$ 是当 $\rho \to 0$ 时比 $\rho$ 高阶的无穷小，则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，并称 $A\Delta x+B\Delta y$ 为函数在该点的全微分，记作：

$$dz=A\Delta x+B\Delta y$$

可微的充要条件

定理：函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微的充要条件是：

1. 函数在该点的偏导数 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 都存在
2. 函数在该点连续
3. ${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{\Delta z-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$

实用判定：如果 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 存在，且

$$\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}=0$$

则函数在该点可微。

全微分的表达式

若函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，则：

$$dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy$$

各概念之间的关系

逻辑关系图

一阶偏导数连续 ⟹ 可微 ⟺ 全微分存在
                    ⬇
                 函数连续
                    ⬇
                 偏导数存在

详细关系表

条件 (从强到弱)	关系符号	说明
一阶偏导数连续	$\Rightarrow$	充分不必要条件
可微	$\iff$	全微分存在
	$\Rightarrow$	函数连续 (可微必连续)
	$\Rightarrow$	偏导数存在 (可微必有偏导)
函数连续	$\nRightarrow$	不保证可微，不保证偏导存在
偏导数存在	$\nRightarrow$	不保证可微，不保证连续
偏导数存在且函数连续	$\nRightarrow$	依然不能保证可微

重要定理

1. 可微的充分条件：如果函数 $f(x,y)$ 的偏导数 $f_x$、$f_y$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续，则函数在该点可微。

2. 可微的必要条件：如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，则：

   • 函数在该点连续
   • 函数在该点的偏导数存在

3. 连续性与偏导数存在的关系：

   • 函数连续不能保证偏导数存在
   • 偏导数存在不能保证函数连续
   • 偏导数存在且函数连续仍不能保证可微

典型反例

例1：连续但偏导数不存在

函数 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 在原点 $(0,0)$ 处连续，但偏导数不存在。

例2：偏导数存在但不连续

函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$

在原点处偏导数存在：$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$，但函数在原点不连续。

例3：偏导数存在且连续但不可微

函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}y}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$

在原点处：

• 函数连续：${\lim }_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$
• 偏导数存在：$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$
• 但不可微，因为 ${\lim }_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\frac{\Delta f}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$ 不存在

例4：可微但偏导数不连续

函数 $f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$

在原点处可微，但偏导数在原点不连续。