41 常微分方程

常微分方程的基本概念

• 微分方程: 凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程。
• 阶: 微分方程中所含未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶。
• 解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解。
• 通解: 如果解中含有任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为通解。
• 特解: 不含任意常数的解称为特解。
• 初始条件: 确定通解中任意常数的值的条件，称为初始条件或边界条件。例如，一阶方程的初始条件为 $y{|}_{x=x_0}=y_0$。

一阶微分方程

可分离变量的方程

• 形式: $\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ 或 $M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0$。
• 解法: 分离变量，使方程一端只含 $y$ 和 $dy$，另一端只含 $x$ 和 $dx$，然后两边积分。 $$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C$$

齐次方程

• 形式: $\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$。
• 解法: 作代换 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$, $\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$。代入原方程得到 $u+x\frac{du}{dx}=\phi (u)$，此为可分离变量方程，求解后将 $u=\frac{y}{x}$ 代回。

一阶线性微分方程

• 形式: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$。
• 通解公式: 必须熟记。 $$y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)$$

伯努利方程 (Bernoulli Equation)

• 形式: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ ($n\ne 0,1$)
• 解法: 两边同除以 $y^n$ 得 $y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)$。作代换 $z=y^{1-n}$，则 $\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$。代入后得到关于 $z$ 的一阶线性微分方程 $\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x)$，求解即可。

可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$ 型

• 解法: 对 $f(x)$ 连续积分 $n$ 次。

$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 型 (不显含 $y$)

• 解法: 令 $p=y^{\prime }$，则 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=p^{\prime }$。原方程化为一阶方程 $p^{\prime }=f(x,p)$。解出 $p=\phi (x,C_1)$ 后，再由 $y^{\prime }=p$ 积分得 $y=\int \phi (x,C_1)dx+C_2$。

$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$ 型 (不显含 $x$)

• 解法: 令 $p=y^{\prime }$，则 $y^{\prime \prime }=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$。原方程化为 $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$，这是一个关于变量 $y$ 和 $p$ 的一阶方程。解出 $p=\phi (y,C_1)$ 后，再解可分离变量方程 $\frac{dy}{dx}=\phi (y,C_1)$ 求得 $y$ 的表达式。

高阶线性微分方程

解的结构

• 齐次线性方程: 若 $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ 是 $n$ 阶齐次线性方程的 $n$ 个线性无关的解，则其通解为 $Y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$ (线性叠加原理)。
• 非齐次线性方程: 其通解 $y(x)$ 等于对应的齐次方程的通解 $Y(x)$ 与该非齐次方程的任意一个特解 $y^{\ast }(x)$ 之和，即 $y(x)=Y(x)+y^{\ast }(x)$。

二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$

• 特征方程: $r^2+pr+q=0$。
• 通解形式:

特征根 $r_1,r_2$ 的情况	通解 $Y(x)$
$p^2-4q>0$ (两不等实根)	$Y(x)=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$
$p^2-4q=0$ (两相等实根 $r_1=r_2=r$)	$Y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{rx}$
$p^2-4q<0$ (共轭复根 $r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$)	$Y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos (\beta x)+C_2\sin (\beta x))$

二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$

• 核心方法: 待定系数法求特解 $y^{\ast }$。主要针对以下两种形式的 $f(x)$。
• 类型一: $f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$ 型
  • $P_m(x)$ 为 $m$ 次多项式。
  • 特解形式: 设 $y^{\ast }(x)=x^k{Q}_m(x)e^{\lambda x}$，其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的一般多项式。
  • $k$ 的取值: 取决于 $\lambda$ 是否为特征方程的根。
    • $\lambda$ 不是特征根，则 $k=0$。
    • $\lambda$ 是特征方程的单根，则 $k=1$。
    • $\lambda$ 是特征方程的重根，则 $k=2$。
• 类型二: $f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos (\beta x)+P_n(x)\sin (\beta x)]$ 型
  • $P_l(x),P_n(x)$ 分别为 $l$ 次和 $n$ 次多项式。
  • 特解形式: 设 $y^{\ast }(x)=x^k{e}^{\alpha x}[R_m(x)\cos (\beta x)+S_m(x)\sin (\beta x)]$
    • $m=\max \{l,n\}$。$R_m(x),S_m(x)$ 是 $m$ 次一般多项式。
  • $k$ 的取值: 取决于 $\alpha \pm i\beta$ 是否为特征方程的根。
    • $\alpha \pm i\beta$ 不是特征根，则 $k=0$。
    • $\alpha \pm i\beta$ 是特征方程的根，则 $k=1$。

欧拉方程 (Euler equation)

• 形式: $x^2{y}^{\prime \prime }+px{y}^{\prime }+qy=f(x)$，其中 $p,q$ 为常数。
• 解法: 作变量代换 $x=e^t$ (当 $x>0$) 或 $x=-e^t$ (当 $x<0$)。以 $x>0$ 为例，令 $x=e^t$，则 $t=\ln x$，有：
  • $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$
  • $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x^2}(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt})$
• 代入原方程后，化为关于 $t$ 的常系数线性微分方程 $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+(p-1)\frac{dy}{dt}+qy=f(e^t)$，求解后再用 $t=\ln x$ 代回。

微分方程的应用

• 几何应用: 求解曲线方程（利用切线斜率 $y^{\prime }$、曲率 $K$ 等）。
• 物理应用: 放射性衰变、牛顿冷却定律、自由落体、电路分析等。
• 其他: 人口模型、经济增长模型等。