34 定积分应用

几何应用

平面图形的面积

直角坐标系下的面积

1. 由曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$ 及直线 $x=a$、$x=b$ 围成的图形面积：

   $$S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$$

2. 由曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴围成的图形面积：

   $$S={\int }_a^b|f(x)|dx$$

3. 计算步骤：

   • 画出图形，确定积分区域
   • 确定被积函数（上曲线减下曲线）
   • 确定积分限
   • 计算定积分

参数方程表示的曲线围成的面积

若曲线由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 给出，其中 $\alpha \le t\le \beta$，则曲线与 $x$ 轴围成的面积为：

$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }|\psi (t)|{\phi }^{\prime }(t)dt$$

极坐标系下的面积

1. 由曲线 $r=r(\theta )$ 与射线 $\theta =\alpha$、$\theta =\beta$ 围成的扇形面积：

   $$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta$$

2. 由两条曲线 $r=r_1(\theta )$ 和 $r=r_2(\theta )$ 围成的面积：

   $$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }|r_1^2(\theta )-r_2^2(\theta )|d\theta$$

旋转体的体积

绕坐标轴旋转

1. 绕 $x$ 轴旋转：

   • 由 $y=f(x)$、$x=a$、$x=b$、$y=0$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转：

     $$V_x=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$$

   • 由 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转：

     $$V_x=\pi {\int }_a^b|f^2(x)-g^2(x)|dx$$

2. 绕 $y$ 轴旋转：

   • 由 $x=\phi (y)$、$y=c$、$y=d$、$x=0$ 围成的图形绕 $y$ 轴旋转： $$V_y=\pi {\int }_c^d{\phi }^2(y)dy$$

绕任意直线旋转

绕直线 $x=a$ 旋转：

$$V=\pi {\int }_c^d(x-a{)}^{2}dy$$

绕直线 $y=b$ 旋转：

$$V=\pi {\int }_a^b(y-b{)}^{2}dx$$

参数方程表示的旋转体体积

若曲线由参数方程给出，绕 $x$ 轴旋转的体积为：

$$V_x=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{\psi }^2(t){\phi }^{\prime }(t)dt$$

平面曲线的弧长

直角坐标系

1. 显函数 $y=f(x)$：

   $$s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

2. 参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$：

   $$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$$

极坐标系

曲线 $r=r(\theta )$：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta$$

旋转曲面的面积

绕 $x$ 轴旋转

由 $y=f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转形成的曲面面积：

$$S=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

绕 $y$ 轴旋转

由 $x=\phi (y)$ 绕 $y$ 轴旋转形成的曲面面积：

$$S=2\pi {\int }_c^d|\phi (y)|\sqrt{1+[{\phi }^{\prime }(y){]}^2}dy$$

参数方程情况

绕 $x$ 轴旋转：

$$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|\psi (t)|\sqrt{[{\phi }^{\prime }(t){]}^2+[{\psi }^{\prime }(t){]}^2}dt$$

物理应用

质心与重心

平面图形的质心

设平面图形 $D$ 的密度为 $\rho (x,y)$，则质心坐标为：

$$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho (x,y)dxdy}{{\iint }_D\rho (x,y)dxdy},\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}y\rho (x,y)dxdy}{{\iint }_D\rho (x,y)dxdy}$$

均匀密度情况（$\rho =1$）：

• 由 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴围成图形的重心： $$\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx},\bar{y}=\frac{{\int }_a^b\frac{1}{2}{f}^2(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$$

平面曲线的质心

设曲线 $L$ 的线密度为 $\rho (x,y)$，则质心坐标为：

$$\bar{x}=\frac{{\int }_{L}x\rho (x,y)ds}{{\int }_L\rho (x,y)ds},\bar{y}=\frac{{\int }_{L}y\rho (x,y)ds}{{\int }_L\rho (x,y)ds}$$

转动惯量

平面图形对坐标轴的转动惯量

对 $x$ 轴的转动惯量：

$$I_x={\iint }_D{y}^2\rho (x,y)dxdy$$

对 $y$ 轴的转动惯量：

$$I_y={\iint }_D{x}^2\rho (x,y)dxdy$$

对原点的转动惯量：

$$I_0={\iint }_D(x^2+y^2)\rho (x,y)dxdy=I_x+I_y$$

平面曲线的转动惯量

对 $x$ 轴：$I_x={\int }_L{y}^2\rho (x,y)ds$

对 $y$ 轴：$I_y={\int }_L{x}^2\rho (x,y)ds$

液体静压力

设垂直放置的平板，其一侧受到液体压力。设液面为 $y=0$，平板在 $y=a$ 到 $y=b$（$a<b<0$）之间，宽度函数为 $w(y)$，液体密度为 $\rho$，则平板所受的静压力为：

$$F=\rho g{\int }_a^b|y|w(y)dy$$

其中 $g$ 为重力加速度。

引力

设质量为 $m$ 的质点位于原点，质量分布在曲线或区域上，密度为 $\rho$，则质点受到的引力为：

平面曲线情况：

$$F_x=-Gm{\int }_L\frac{x\rho (x,y)}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}ds$$ $$F_y=-Gm{\int }_L\frac{y\rho (x,y)}{(x^2+y^2{)}^{3/2}}ds$$

其中 $G$ 为万有引力常数。

经济应用

消费者剩余和生产者剩余

设需求函数为 $p=D(q)$，供给函数为 $p=S(q)$，市场均衡点为 $(q_0,p_0)$。

消费者剩余：

$$CS={\int }_0^{q_0}[D(q)-p_0]dq$$

生产者剩余：

$$PS={\int }_0^{q_0}[p_0-S(q)]dq$$

资本的现值和未来值

设连续收入流为 $f(t)$，利率为 $r$，则：

现值：

$$PV={\int }_0^{T}f(t)e^{-rt}dt$$

未来值：

$$FV={\int }_0^{T}f(t)e^{r(T-t)}dt$$

典型例题

例题1：计算面积

题目：求由曲线 $y=x^2$ 和 $y=2x$ 围成的图形面积。

解： 首先求交点：$x^2=2x$，得 $x=0$ 或 $x=2$。

在区间 $[0,2]$ 上，$2x\ge x^2$，所以：

$$S={\int }_0^2(2x-x^2)dx={\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$

例题2：计算旋转体体积

题目：求由 $y=\sqrt{x}$、$y=0$、$x=4$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。

解：

$$V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4=\pi \cdot 8=8\pi$$

例题3：计算弧长

题目：求曲线 $y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$ 从 $x=0$ 到 $x=3$ 的弧长。

解：

$$y^{\prime }=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}{x}^{1/2}=x^{1/2}=\sqrt{x}$$ $$s={\int }_0^3\sqrt{1+(\sqrt{x}{)}^2}dx={\int }_0^3\sqrt{1+x}dx$$

令 $u=1+x$，则 $du=dx$，当 $x=0$ 时 $u=1$，当 $x=3$ 时 $u=4$：

$$s={\int }_1^4\sqrt{u}du={\int }_1^4{u}^{1/2}du={\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right]}_1^4=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}$$

例题4：液体静压力

题目：一个半径为 $R$ 的半圆形闸门垂直放在水中，直径在水面上。求闸门所受的水压力。

解： 建立坐标系，使圆心在原点，直径在 $x$ 轴上。半圆方程为 $x^2+y^2=R^2$（$y\le 0$）。

在深度 $|y|$ 处，闸门宽度为 $2\sqrt{R^2-y^2}$，水压强为 $\rho g|y|$。

$$F=\rho g{\int }_{-R}^0|y|\cdot 2\sqrt{R^2-y^2}dy=2\rho g{\int }_{-R}^0(-y)\sqrt{R^2-y^2}dy$$

令 $y=-R\sin t$，$dy=-R\cos tdt$，当 $y=-R$ 时 $t=\frac{\pi }{2}$，当 $y=0$ 时 $t=0$：

$$F=2\rho g{\int }_{\pi /2}^{0}R\sin t\cdot R\cos t\cdot (-R\cos t)dt=2\rho g{R}^3{\int }_0^{\pi /2}\sin t{\cos }^{2}tdt$$ $$=2\rho g{R}^3{\int }_0^{\pi /2}\sin t{\cos }^{2}tdt=2\rho g{R}^3{\left[-\frac{{\cos }^{3}t}{3}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{2\rho g{R}^3}{3}$$