13 连续

连续的概念

连续：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。 其等价于满足以下三个条件：

1. $f(x)$ 在点 $x_0$ 有定义，即 $f(x_0)$ 存在。
2. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在。
3. 极限值等于函数值，即 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。

左右连续：

• 左连续：若 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=f(x_0)$，称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续。
• 右连续：若 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)$，称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续。
• 关系：函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续的充要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 既左连续又右连续。

间断点及其类型

间断点的概念

若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 某去心邻域有定义，但在 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点。这包括 $f(x)$ 在 $x_0$ 无定义，或 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 不存在，或 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$。

间断点的分类

第一类间断点

特征：左右极限 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)$ 和 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$ 均存在。

• 可去间断点：左右极限存在且相等，即 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$ (从而 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ 存在)，但 $f(x_0)$ 未定义或 $f(x_0)\ne A$。
  • 例如，$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 点。可以通过补充或修改定义使函数连续。
• 跳跃间断点：左右极限均存在但不相等，即 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$。
  • 例如，符号函数 $f(x)=\text{sgn}(x)$ 在 $x=0$ 点。

第二类间断点

特征：左右极限至少有一个不存在。

• 无穷间断点：在 $x\to x_0$ 的过程中，至少有一个单侧极限为无穷大。即 ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)=\infty$ 或 ${\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=\infty$。
  • 例如，$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 点。
• 震荡间断点：当 $x\to x_0$ 时，函数值在某一范围内无限次地变动，使得极限不存在且不为无穷。
  • 例如，$f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 点。

第二类间断点还有其他类型，考试不涉及。不能认为只有无穷和震荡两种。

连续函数的性质

1. 和差积商（分母不为 0）及复合仍连续：有限个在某点连续的函数的和、差、积、商（分母不为 0）在同一点仍然连续。连续函数的复合函数在其定义域内也是连续的。
2. 基本初等函数在定义域内连续；初等函数在其定义区间连续：该性质是判断函数连续性的重要依据。
3. 闭区间上连续函数的性质
   1. 有界性定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有界。
   2. 最值性定理（极值定理）：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必能取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。
   3. 介值性定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $m$ 和 $M$ 分别是其最小值和最大值，则对于介于 $m$ 和 $M$ 之间的任意数 $C$，即 $m\le C\le M$，在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi )=C$。 推论：闭区间上的连续函数，必能取到介于其最小值与最大值之间的任何值。
   4. 零点定理：若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则在开区间 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi )=0$。