12 极限

1. 数列极限几何意义：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A⟺$ 对任意给定的 $ϵ>0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，恒有 $|x_n-A|<ϵ$。几何上表示，序列中从第 $N+1$ 项之后的所有点都落入宽度为 $2ϵ$ 的带状区域 $(A-ϵ,A+ϵ)$ 内。
2. 数列极限 $\{x_n\}$ 是否存在，以及存在的极限值，与数列的前有限项无关。改变、增加或去掉有限项，不影响极限。
3. 数列极限的子列极限：若数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $A$，则其任何子列也收敛于 $A$。
   1. 推论（重要考点）： 如果一个数列的两个子列收敛于不同的极限，则该数列发散。例如，数列 $\{(-1{)}^n\}$ 的子列 $\{x_{2k}\}$ 收敛于 1，子列 $\{x_{2k-1}\}$ 收敛于 -1，故原数列发散。

数列极限的最值

从几何意义理解。

• 若 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$，则 $\{a_n\}$ 有最大值的充要条件是：存在某项 $a_{n_0}$ 使得 $a_{n_0}\ge a$。
• 若 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$，则 $\{a_n\}$ 有最小值的充要条件是：存在某项 $a_{n_0}$ 使得 $a_{n_0}\le a$。

函数极限

函数极限是研究当自变量 $x$ 无限接近某一个值 $x_0$ (或无限增大) 时，函数值 $f(x)$ 的变化趋势。分为自变量趋于无穷大和趋于有限值两种情况。

自变量趋于无穷大时的函数极限

若 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=A⟺$ 对任意 $ϵ>0$，存在正数 $X$，使得当 $|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<ϵ$。

• 几何意义：函数 $y=f(x)$ 有水平渐近线 $y=A$。
• 包含三种情况：
  • $x\to \infty$ ($x\to +\infty$ 且 $x\to -\infty$)
  • $x\to +\infty$
  • $x\to -\infty$。

自变量趋于有限值时的函数极限

1. 去心邻域：点 $x_0$ 的 $\delta$ 去心邻域记为 $\mathring{U}(x_0,\delta )=\{x\mid 0<|x-x_0|<\delta \}$。
2. 左右极限：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A⟺{\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)=A$。
   1. 分段函数：在分段点处的极限，必须计算左右极限，判断二者是否相等。
   2. $e^{\infty }$ 型极限：需判断指数是趋向 $+\infty$ 还是 $-\infty$。例如，${\lim }_{x\to 0^{+}}{e}^{1/x}=+\infty$，而 ${\lim }_{x\to 0^{-}}{e}^{1/x}=0$。
   3. $\arctan \infty$ 型极限：需判断自变量是趋向 $+\infty$ 还是 $-\infty$。${\lim }_{x\to +\infty }\arctan x=\frac{\pi }{2}$，而 ${\lim }_{x\to -\infty }\arctan x=-\frac{\pi }{2}$。

极限研究临近点的变化趋势

函数极限研究的是自变量在某一点的去心邻域内，函数值的变化趋势，其值与函数在该点自身是否有定义、取值为何无关。

极限成立的核心是：

1. 自变量趋于 0 ($x\to 0$)
2. 在去心邻域内，该自变量不等于 0 ($x\ne 0$)

对于复合函数形式 ${\lim }_{x\to a}\frac{\sin (g(x))}{g(x)}$，要使其等于 1，必须满足两个条件：

1. 内层函数趋于 0： ${\lim }_{x\to a}g(x)=0$。
2. 内层函数在去心邻域内不为 0： 存在一个 $\delta >0$，使得当 $x\in \{x|0<|x-a|<\delta \}$ 时，有 $g(x)\ne 0$。

正例

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

此处 $g(x)=x$。当 $x\to 0$ 时，在 $x$ 的去心邻域内，$x\ne 0$ 恒成立。满足两个条件。

反例

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x\sin \frac{1}{x})}{x\sin \frac{1}{x}}\text{ 不存在}$$

此处令 $g(x)=x\sin \frac{1}{x}$。

• 检验条件 1： ${\lim }_{x\to 0}x\sin \frac{1}{x}=0$。 (因为 $|\sin \frac{1}{x}|\le 1$，由夹逼定理可知该极限为 0)
• 检验条件 2： 在 $x=0$ 的任意去心邻域内，是否存在 $g(x)=0$ 的点？
  • 令 $g(x)=x\sin \frac{1}{x}=0$。因为 $x\ne 0$，所以必须 $\sin \frac{1}{x}=0$。
  • 这要求 $\frac{1}{x}=k\pi$ ($k$ 为非零整数)，即 $x=\frac{1}{k\pi }$。
  • 可以看出，无论 $x=0$ 的去心邻域有多小，总能找到无穷多个形如 $x=\frac{1}{k\pi }$ 的点，使得 $g(x)=0$。
• 结论： 条件 2 不满足。由于分母在趋于 0 的过程中会无数次取到 0，导致函数在这些点上无定义，因此该极限不存在，不能套用重要极限公式。

例题

极限与 $f(0)$ 无关，但导数与 $f(0)$ 有关，由无关决定有关，很可能是错的。

极限性质

局部有界性

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ (或 $x\to \infty$)，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内（或当 $|x|>X$ 时）有界。

注意：

• 局部有界推不出极限存在。反例 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$
• 收敛数列必有界。
• 有界数列不一定收敛（如 $\{(-1{)}^n\}$）。

保号性

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，

• 若 $A>0$ (或 $A<0$)，则存在 $x_0$ 的某个去心邻域，当 $x$ 在该邻域内时，有 $f(x)>0$ (或 $f(x)<0$)。
  • 注意：即使极限大于等于零，$f(x)$ 可能大于、等于或小于 0. 反例 $f(x)=x$，当 $x\to 0$
• 推论（常用）: 如果在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x)\ge 0$ (或 $f(x)\le 0$)，且 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$，则 $A\ge 0$ (或 $A\le 0$)。
  • 注意：即使邻域内是严格大于 0，极限也可能等于 0，例如 ${\lim }_{x\to 0}{x}^2=0$。

等号很严格，不能修改

保序性：

若 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，

• 且 $A>B$，则在某邻域内 $f(x)>g(x)$
• 且在某邻域内 $f(x)\ge g(x)$，则 $A\ge B$。

极限值与无穷小之间的关系

有 $\lim f(x)=A⟺f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $\alpha (x)$ 是当 $x$ 发生对应变化过程时的无穷小

这个关系是极限理论与无穷小分析的桥梁，常用于证明和计算，例如证明极限的四则运算法则。

极限存在准则

夹逼准则

也称夹挤定理或三明治定理。

• 数列形式： 若数列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$, $\{z_n\}$ 满足：

  1. 从某项起，即 $\exists N_0\in {\mathbb{N}}^{+}$, 当 $n>N_0$ 时，恒有 $y_n\le x_n\le z_n$。
  2. ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n={\lim }_{n\to \infty }{z}_n=A$。 则数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，且 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A$。

• 函数形式： 若函数 $f(x),g(x),h(x)$ 满足：

  1. 在 $x_0$ 的某去心邻域内，有 $g(x)\le f(x)\le h(x)$。
  2. ${\lim }_{x\to x_0}g(x)={\lim }_{x\to x_0}h(x)=A$。 则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$。（该准则对 $x\to \infty$ 等情况也适用）

• 应用：

  1. 求数列 n 项和
  2. 证明重要极限 ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$。
  3. 求某些复杂函数或数列的极限，如 ${\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n^2+k}$。
  4. 处理含有震荡因子（如 $\sin x$, $\cos x$, $(-1{)}^n$）的极限，例如 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{\sin x}{x}=0$。

单调有界准则

单调有界数列必有极限。

• 内容：
  • 若数列 $\{x_n\}$ 单调增加且有上界，则 $\{x_n\}$ 必收敛。
  • 若数列 $\{x_n\}$ 单调减少且有下界，则 $\{x_n\}$ 必收敛。
• 应用：
  1. 证明数列极限存在性，特别是递推关系定义的数列，如 $x_{n+1}=f(x_n)$。解题步骤通常为：
     1. 证有界性（常用数学归纳法）。
     2. 证单调性（常用作差法 $x_{n+1}-x_n$ 或作商法 $\frac{x_{n+1}}{x_n}$，或利用函数 $f(x)$ 的单调性）。
     3. 由单调有界准则，断定极限存在，设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A$。
     4. 在递推公式两侧同时取极限，解出 $A$。
  2. 证明重要极限 ${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$ 的存在性。

无穷小

无穷小的概念

在某一极限过程中，以零为极限的变量，称为无穷小量。

• 强调：
  1. 无穷小是一个变量，不能和很小的数混淆。
  2. 零是唯一可以作为无穷小的常数。
  3. 谈论无穷小必须指明其极限过程（如 $x\to 0$ 或 $x\to \infty$）。例如，$f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x\to \infty$ 时是无穷小，但在 $x\to 0$ 时是无穷大。

无穷小的比较

设 $\alpha (x)$ 和 $\beta (x)$ 是同一极限过程中的两个无穷小。

• 若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta =o(\alpha )$。
• 若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$，则称 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小。
• 若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=C\ne 0$ ($C$ 为常数)，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。
• 若 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$，则称 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。
• 等价无穷小替换定理： 设 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime }$, $\beta \sim {\beta }^{\prime }$，且 $\lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }}$ 存在，则 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=\lim \frac{{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }}$。这是求极限最重要的技巧之一。注意： 替换原则主要用于乘除运算，加减运算中慎用，除非是非等价的无穷小相加减。

无穷小的性质

1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。
2. 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。
3. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

无穷大

无穷大的概念

在某一极限过程中，函数值的绝对值 $|f(x)|$ 可以任意地增大，则称该函数为无穷大量，记作 $\lim f(x)=\infty$。

• 注意区分：
  • $\lim f(x)=+\infty$：函数值可以任意大。
  • $\lim f(x)=-\infty$：函数值可以任意小（负的绝对值任意大）。
  • $\lim f(x)=\infty$：$\lim |f(x)|=+\infty$。

常用无穷大的比较

当 $x\to +\infty$ 时，无穷大的增长速度（阶）比较：

对数函数 $<<$ 幂函数 $<<$ 指数函数 $<<$ 阶乘 $<<$ 幂指数函数

$$(\ln x{)}^{\alpha }<<x^{\beta }<<a^x<<n!<<x^x(\text{其中 }\alpha >0,\beta >0,a>1)$$

（阶乘是数列的内容）

利用此规则可快速判断 $\frac{\infty }{\infty }$ 型极限。

无穷大与无界变量的关系

• 无穷大必无界：若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的任一去心邻域内无界。
• 无界未必是无穷大：无界是指函数在其定义域的某个子集上值域无限，不一定在某个特定点的邻域内都满足 $|f(x)|>M$。
  • 典型反例：当 $x\to \infty$ 时，$f(x)=x\sin x$ 是无界函数，但不是无穷大，因为它会无限次取到 0。

无穷大与无穷小的关系

在同一极限过程中：

1. 如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小。
2. 如果 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x)\ne 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。 这个倒数关系是处理 $0\cdot \infty$, $1^{\infty }$, ${\infty }^0$ 等未定式极限的重要基础。