级数判敛

核心推理与理论基础

1. 基准 (Benchmark): 调和级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散。
2. p- 级数测试 (p-Series Test): 级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 时收敛，在 $p\le 1$ 时发散。
   • 这为我们提供了第一层比较。例如，$\sum \frac{1}{n^{1.0001}}$ 是收敛的，而 $\sum \frac{1}{n^{0.9999}}$ 是发散的。调和级数正是 $p=1$ 的临界情况。
3. 对数因子的引入： 当 p- 级数测试中的 $p=1$ 时，敛散性变得不确定。为了构造比调和级数“略微”变化的级数，我们引入增长速度极慢的对数函数 $\ln (n)$。
   • 基本事实： 对于任意 $\alpha >0$，当 $n\to \infty$ 时，$\ln (n)$ 的增长速度远慢于 $n^{\alpha }$。即 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln (n)}{n^{\alpha }}=0$。
   • 这意味着，在分母上乘以或除以 $\ln (n)$ 的某个次幂，其影响比改变 $n$ 的指数 $p$ 要“微弱”得多。
4. 积分判别法 (Integral Test): 这是分析这类含对数项级数的关键工具。如果函数 $f(x)$ 是正、连续且递减的，则级数 ${\sum }_{n=N}^{\infty }f(n)$ 与反常积分 ${\int }_N^{\infty }f(x)dx$ 的敛散性相同。
   • 应用 1： 考虑级数 ${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^q}$。对应的积分为 ${\int }_2^{\infty }\frac{1}{x(\ln x{)}^q}dx$。
     • 进行换元，令 $u=\ln x$，则 $du=\frac{1}{x}dx$。积分变为 ${\int }_{\ln 2}^{\infty }\frac{1}{u^q}du$。
     • 根据 p- 积分的结论，这个积分在 $q>1$ 时收敛，在 $q\le 1$ 时发散。
   • 结论： 这给了我们一个围绕调和级数的更精细的“刻度尺”。当 $p=1$ 时，我们观察 $\ln (n)$ 的指数 $q$。

基于以上推理，我们可以构建一个非常实用的参考表格，这对于在选择题中快速判断和举反例极有价值。

参考表格：围绕调和级数的收敛与发散

基准级数： ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ (调和级数)，发散

类别	级数表达式 (Series)	敛散性 (Result)	判别方法与简要原因	与调和级数比较	应用场景/反例说明
1. 略微收敛 (Slightly Convergent)	${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^2}$	收敛 (Convergent)	积分判别法：$\int \frac{dx}{x(\ln x{)}^2}$ 收敛（p- 积分类似，p=2>1）。	通项比 $\frac{1}{n}$ 衰减得更快，但仅仅快了一个 $(\ln n{)}^2$ 因子。	否定“如果 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_n}{1/n}=0$，则 $\sum a_n$ 发散”的错误直觉。这里极限为 0，但级数收敛。
	${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n(\ln n{)}^{1.001}}$	收敛 (Convergent)	积分判别法：$\int \frac{dx}{x(\ln x{)}^{1.001}}$ 收敛（p>1）。	收敛得极其缓慢，但确实收敛。	强调收敛与发散的边界是多么“锐利”，指数只比 1 大一点点就导致收敛。
	${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{1.001}}$	收敛 (Convergent)	p- 级数判别法 (p=1.001 > 1)。	这是最经典的例子，衰减速度比 $\frac{1}{n}$ 略快。	在 p- 级数框架下的直接比较。
	${\sum }_{n=3}^{\infty }\frac{1}{n\ln n(\ln (\ln n){)}^{1.5}}$	收敛 (Convergent)	积分判别法（多次换元）。这是将上述思想迭代一次。	衰减速度比 $\frac{1}{n\ln n}$ 快，比 $\frac{1}{n}$ 快。	展示这种“微调”可以无限进行下去，形成一个收敛与发散的精细谱系。
2. 略微发散 (Slightly Divergent)	${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$	发散 (Divergent)	积分判别法：$\int \frac{dx}{x\ln x}$ 发散（p- 积分类似，p=1）。	通项比 $\frac{1}{n}$ 衰减得略快，但不足以使其收敛。这是最著名的“临界”发散级数。	最重要的反例：否定“如果 $a_n$ 比 $1/n$ 更快地趋于 0，则 $\sum a_n$ 收敛”的错误猜想。
	${\sum }_{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}$	发散 (Divergent)	积分判别法：$\int \frac{dx}{x(\ln x{)}^{0.5}}$ 发散（p=0.5<1）。	同上，通项衰减比 $\frac{1}{n}$ 快，但仍然发散。	进一步巩固上述反例。
	${\sum }_{n=3}^{\infty }\frac{1}{n\ln n\ln (\ln n)}$	发散 (Divergent)	积分判别法（多次换元）。	发散得极其缓慢，甚至比 $\sum \frac{1}{n\ln n}$ 更慢。	表明发散的“边界”同样可以无限细化。
	${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{0.999}}$	发散 (Divergent)	p- 级数判别法 (p=0.999 < 1)。	通项衰减速度比 $\frac{1}{n}$ 略慢。	在 p- 级数框架下的直接比较。

注意：对于包含 $\ln (n)$ 或 $\ln (\ln (n))$ 的级数，求和的起始点 $n$ 需要足够大以确保对数函数有定义且为正（如 $n\ge 2$ for $\ln (n)$, $n\ge 3$ for $\ln (\ln (n))$）。但这不影响级数的敛散性。

总结与推广 (Generalization)

这些例子都属于一类被称为 Bertrand 级数 的特例：

${\sum }_{n=N}^{\infty }\frac{1}{n^p(\ln n{)}^q}$ 其敛散性有如下的完整判别准则：

1. 当 $p>1$ 时，级数总是收敛的 (无论 $q$ 是多少)。
   • 因为 $n^p$ 因子占据主导地位，其强度足以保证收敛。
2. 当 $p<1$ 时，级数总是发散的 (无论 $q$ 是多少)。
   • 因为 $n^p$ 因子发散的“趋势”太强，对数因子无法扭转。
3. 当 $p=1$ 时 (临界情况)，级数的敛散性完全由 $q$ 决定：
   • 如果 $q>1$，级数收敛。 (如表格中的 $\sum \frac{1}{n(\ln n{)}^2}$)
   • 如果 $q\le 1$，级数发散。 (如表格中的 $\sum \frac{1}{n\ln n}$ 和 $\sum \frac{1}{n}$)

这个框架为您提供了一个强大的工具，可以系统地构造出任意“接近”调和级数的收敛或发散级数，非常适合用于分析学中的选择题和判断题。