常用一元函数微分公式
基本初等函数导数
- 幂函数 若 （），则
f’(x)=n x^{n-1}
*证明*：利用导数定义式 $f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n -x^n}{h}$ 结合二项式定理展开 2. **指数函数** 若 $f(x)=e^x$，则f’(x)=e
推广：对 $a>0$，若 $f(x)=a^x$，则f’(x)=a^x \ln a
3. **对数函数** 若 $f(x)=\ln x$，则f’(x)=\frac{1}{x}
推广：对 $a>0$ 且 $a \neq 1$，若 $f(x)=\log_a x$，则f’(x)=\frac{1}{x \ln a}
4. **三角函数** - $\dfrac{d}{dx} \sin x = \cos x$ - $\dfrac{d}{dx} \cos x = -\sin x$ - $\dfrac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$ - $\dfrac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x$ - $\dfrac{d}{dx} \sec x = \sec x \tan x$ - $\dfrac{d}{dx} \csc x = -\csc x \cot x$ 5. **反三角函数：** - $\dfrac{d}{dx} \arcsin x = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $\dfrac{d}{dx} \arccos x = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ - $\dfrac{d}{dx} \arctan x = \dfrac{1}{1+x^2}$ - $\dfrac{d}{dx} \mathrm{arccot}\,x = -\dfrac{1}{1+x^2}$ ## 微分法则 ### 线性组合法则 若 $f,g$ 可导，$\alpha,\beta \in \mathbb{R}$，则(\alpha f + \beta g)’ = \alpha f’ + \beta g’
### 乘积法则 若 $f,g$ 可导，则(fg)‘=f’g + fg’
*技巧*：适用于多项式乘积、混合函数类型乘积 ### 商法则 若 $f,g$ 可导且 $g(x)\neq 0$，则\left( \frac{f}{g} \right)’ = \frac{f’g - fg’}{g^2}
*应用场景*：有理函数、三角函数的比值求导 ### 链式法则 若 $y=f(u)$ 且 $u=g(x)$ 可导，则\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
*常用技巧*： 1. 分解复合函数为基本初等函数的组合 2. 多层嵌套时逐层求导 *示例*：对 $e^{\sin x^2}$ 求导时分解为 $e^u$, $u=\sin v$, $v=x^2$ ## 高阶导数 二阶导数定义：f”(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{df}{dx} \right)
*应用*： - 判断函数凹凸性 - 物理中的加速度计算 ## 特殊技巧 1. **隐函数求导**：对 $F(x,y)=0$ 确定的函数关系，通过方程两边同时对 $x$ 求导建立微分方程 2. **对数求导法**：对复杂乘积/幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$，先取对数再求导\ln y = v(x)\ln u(x) \Rightarrow \frac{y’}{y} = v’\ln u + \frac{v u’}{u}
## 应用场景 1. 极值问题：通过 $f'(x)=0$ 寻找临界点 2. 泰勒展开：用导数构造多项式逼近 3. 相关变化率：物理运动学中关联变量的变化率分析 4. 微分近似计算：$\Delta y \approx f'(x_0)\Delta x$