配方法

（也称为拉格朗日配方法。配方法与前面的特征值、相似、正交理论无关，是通过配方找到一个可逆的合同矩阵。）

基本思想

配方法的核心思想是通过作变量代换，逐步消去二次型中的交叉项，最终将其化为只含平方项的标准形。这个过程等价于寻找一个可逆线性变换 $\mathbf{x}=C\mathbf{y}$，使得二次型 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$ 变换为没有交叉项的标准形： $f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2$ 该标准形对应的矩阵为对角矩阵 $D=\text{diag}(d_1,d_2,\dots ,d_n)$。矩阵 $A$ 与 $D$ 的关系是合同，即存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{T}AC=D$。

方法步骤

对于一个 $n$ 元二次型 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，化标准形的步骤如下：

存在平方项

若二次型中存在平方项，例如 $a_{11}\ne 0$，则将所有含有 $x_1$ 的项集中起来进行配方。

1. 配凑第一个完全平方： 将含有 $x_1$ 的项（$a_{11}{x}_1^2$ 和所有 $2a_{1j}{x}_1{x}_j$）配成一个关于 $x_1$ 的完全平方式。 $f=a_{11}(x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}{x}_2+\cdots +\frac{a_{1n}}{a_{11}}{x}_n{)}^2+\varphi (x_2,\dots ,x_n)$ 其中 $\varphi (x_2,\dots ,x_n)$ 是不含 $x_1$ 的、关于 $x_2,\dots ,x_n$ 的二次型。

2. 引入新变量： 作可逆线性变换：

   $$\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+\frac{a_{12}}{a_{11}}{x}_2+\cdots +\frac{a_{1n}}{a_{11}}{x}_n\\ y_2=x_2\\ ⋮\\ y_n=x_n\end{array}$$

   于是原二次型变为 $f=a_{11}{y}_1^2+\varphi (y_2,\dots ,y_n)$。

3. 重复操作： 对余下的二次型 $\varphi (y_2,\dots ,y_n)$ 重复上述步骤，直到所有变量都被处理完毕。

不含平方项

若二次型中不含任何平方项（即 $a_{ii}=0,\forall i$），但存在交叉项（例如 $a_{12}\ne 0$），则需要先通过一个辅助变换制造出平方项。

1. 作辅助变换： 选取一个不为零的交叉项，如 $2a_{12}{x}_1{x}_2$，作如下的可逆线性变换：

   $$\{\begin{array}{ll}{x}_1=z_1+z_2& \\ x_2=z_1-z_2& \\ x_k=z_k& (k\ge 3)\end{array}$$

   该变换的目的是将交叉项 $x_1{x}_2$ 转化为平方项的差：$x_1{x}_2=z_1^2-z_2^2$。

2. 代入并化简： 将此变换代入原二次型，整理后会得到一个含有 $z_1^2$ 或 $z_2^2$ 等平方项的、关于 $z_1,z_2,\dots ,z_n$ 的新二次型。

3. 转为情形一： 此时问题转化为存在平方项的情形，按上面的方法继续进行配方即可。

示例

[问答题]

. # 用配方法化二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-6x_3^2-2x_1{x}_2-4x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 为标准形，并求所用的可逆线性变换。

[答案]

1. 处理 $x_1$ 项：

   $$\begin{array}{rl}f& =(x_1^2-2x_1{x}_2-4x_1{x}_3)+2x_2^2-6x_3^2+2x_2{x}_3\\ & =[x_1-(x_2+2x_3){]}^2-(x_2+2x_3{)}^2+2x_2^2-6x_3^2+2x_2{x}_3\\ & =(x_1-x_2-2x_3{)}^2-(x_2^2+4x_2{x}_3+4x_3^2)+2x_2^2-6x_3^2+2x_2{x}_3\\ & =(x_1-x_2-2x_3{)}^2+x_2^2-2x_2{x}_3-10x_3^2\end{array}$$

2. 处理 $x_2$ 项： 对余下的部分 $x_2^2-2x_2{x}_3-10x_3^2$ 进行配方。

   $$\begin{array}{rl}f& =(x_1-x_2-2x_3{)}^2+(x_2^2-2x_2{x}_3)-10x_3^2\\ & =(x_1-x_2-2x_3{)}^2+(x_2-x_3{)}^2-x_3^2-10x_3^2\\ & =(x_1-x_2-2x_3{)}^2+(x_2-x_3{)}^2-11x_3^2\end{array}$$

3. 确定变换关系： 作可逆线性变换：

   $$\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1-x_2-2x_3\\ y_2=x_2-x_3\\ y_3=x_3\end{array}$$

   二次型的标准形为 $f=y_1^2+y_2^2-11y_3^2$。

4. 求变换矩阵： 从上述变换关系中反解出 $x_1,x_2,x_3$：

   $$\{\begin{array}{l}{x}_3=y_3\\ x_2=y_2+x_3=y_2+y_3\\ x_1=y_1+x_2+2x_3=y_1+(y_2+y_3)+2y_3=y_1+y_2+3y_3\end{array}$$

   写成矩阵形式 $\mathbf{x}=C\mathbf{y}$：

   $$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$$

   所求的可逆变换矩阵为 $C=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

总结与性质

• 配方法得到的变换矩阵 $C$ 是可逆的，但不一定是正交矩阵。这是它与正交变换法（特征值法）的主要区别。
• 一个二次型的标准形不是唯一的，它取决于配方的顺序。
• 根据惯性定理，虽然标准形不唯一，但标准形中正、负、零系数的个数是唯一确定的，分别称为二次型的正惯性指数、负惯性指数和零指数。
• 配方法为任何实二次型提供了一种程序化的方法来寻找其标准形和对应的合同对角矩阵。