反三角函数

1. arcsin(x)

• 定义: $\arcsin (x)$ 是反正弦函数，表示正弦值为 x 的角。如果 $\sin (y)=x$，且 $-1\le x\le 1$，那么 $\arcsin (x)=y$ 。通常也记作 ${\sin }^{-1}(x)$ 。
• 定义域: $[-1,1]$ 。
• 值域: $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 。
• 奇偶性: 奇函数，即 $\arcsin (-x)=-\arcsin (x)$
• 单调性: 在其定义域 $[-1,1]$ 上是增函数 。
• 导数: $\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • 推导过程：
    1. 设 $y=\arcsin (x)$，则 $\sin (y)=x$ 。
    2. 两边对 x 求导：$\cos (y)\cdot \frac{dy}{dx}=1$ 。
    3. 所以 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos (y)}$ 。
    4. 因为 ${\sin }^2(y)+{\cos }^2(y)=1$，且 $y\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，所以 $\cos (y)=\sqrt{1-{\sin }^2(y)}=\sqrt{1-x^2}$ 。
    5. 因此， $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 。
• 重要性质与恒等式:
  • 当 $x\in [-1,1]$ 时成立： $\sin (\arcsin x)=x$
  • 当 $x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 时成立 。对于其他 x 值，$\arcsin (\sin x)=x+2k\pi$，其中 k 为整数，具体取决于 x 所在的区间以确保结果在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 内 。 $\arcsin (\sin x)=x$
  • 当 $x\in [-1,1]$ 时成立 ： $\arcsin (x)+\arccos (x)=\frac{\pi }{2}$
  • 当 $|x|\ge 1$ 时成立 ： $\arcsin \left(\frac{1}{x}\right)=\mathrm{arccsc}(x)$
  • 一些常见的 arcsin 值：

x	arcsin(x) (弧度)	arcsin(x) (角度)
-1	$-\frac{\pi }{2}$	-90°
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\pi }{3}$	-60°
$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\pi }{6}$	-30°
0	0	0°
$\frac{1}{2}$	$\frac{\pi }{6}$	30°
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\pi }{3}$	60°
1	$\frac{\pi }{2}$	90°

2. arccos(x)

• 定义: $\arccos (x)$ 是反余弦函数，表示余弦值为 x 的角。如果 $\cos (y)=x$，且 $-1\le x\le 1$，那么 $\arccos (x)=y$ 。通常也记作 ${\cos }^{-1}(x)$ 。
• 定义域: $[-1,1]$ 。
• 值域: $[0,\pi ]$ 。
• 奇偶性: 非奇非偶函数 。有： $\arccos (-x)=\pi -\arccos (x)$
• 单调性: 在其定义域 $[-1,1]$ 上是减函数 。
• 导数: $\frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • 推导过程：
    1. 设 $y=\arccos (x)$，则 $\cos (y)=x$ 。
    2. 两边对 x 求导：$-\sin (y)\cdot \frac{dy}{dx}=1$ 。
    3. 所以 $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin (y)}$ 。
    4. 因为 ${\sin }^2(y)+{\cos }^2(y)=1$，且 $y\in [0,\pi ]$，所以 $\sin (y)=\sqrt{1-{\cos }^2(y)}=\sqrt{1-x^2}$ 。
    5. 因此， $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 。
• 重要性质与恒等式:
  • 当 $x\in [-1,1]$ 时成立 ： $\cos (\arccos x)=x$
  • 当 $x\in [0,\pi ]$ 时成立。对于其他 x 值，$\arccos (\cos x)=x+2k\pi$ 或 $\arccos (\cos x)=-x+2k\pi$，其中 k 为整数，具体取决于 x 所在的区间以确保结果在 $[0,\pi ]$ 内 。 $\arccos (\cos x)=x$
  • 当 $x\in [-1,1]$ 时成立 ： $\arccos (x)+\arcsin (x)=\frac{\pi }{2}$
  • 当 $|x|\ge 1$ 时成立 ： $\arccos \left(\frac{1}{x}\right)=\mathrm{arcsec}(x)$
  • 一些常见的 arccos 值：

x	arccos(x) (弧度)	arccos(x) (角度)
-1	$\pi$	180°
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{5\pi }{6}$	150°
$-\frac{1}{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	120°
0	$\frac{\pi }{2}$	90°
$\frac{1}{2}$	$\frac{\pi }{3}$	60°
$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\pi }{6}$	30°
1	0	0°

3. arctan(x)

• 定义: $\arctan (x)$ 是反正切函数，表示正切值为 x 的角。如果 $\tan (y)=x$，那么 $\arctan (x)=y$ 。通常也记作 ${\tan }^{-1}(x)$ 。
• 定义域: 所有实数 $\mathbb{R}$，即 $(-\infty ,+\infty )$ 。
• 值域: $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 。选择这个区间是为了保证函数的单值性和连续性 。
• 奇偶性: 奇函数，即 $\arctan (-x)=-\arctan (x)$
• 单调性: 在其定义域 $\mathbb{R}$ 上是增函数。
• 导数:$\frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}$
  • 推导过程：
    1. 设 $y=\arctan (x)$，则 $\tan (y)=x$ 。
    2. 两边对 x 求导：${\sec }^2(y)\cdot \frac{dy}{dx}=1$ 。
    3. 所以 $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\sec }^2(y)}$ 。
    4. 利用恒等式 ${\tan }^2(y)+1={\sec }^2(y)$，可得 ${\sec }^2(y)=x^2+1$ 。
    5. 因此， $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$ 。
• 重要性质与恒等式:
  • 对所有实数 x 成立 ：$\tan (\arctan x)=x$
  • 当 $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 时成立。对于其他 x 值，结果会有一个 $\pi$ 的整数倍的平移。$\arctan (\tan x)=x$

$$\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2}& \text{if }x>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{if }x<0\end{array}$$

- 如果 $xy < 1$ ：$\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$
- 如果 $xy > -1$ ：$\arctan(x) - \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$
- 一些常见的 arctan 值

x	arctan(x) (弧度)	arctan(x) (角度)
$-\infty$	$-\frac{\pi }{2}$ (极限值)	-90° (极限值)
$-\sqrt{3}$	$-\frac{\pi }{3}$	-60°
-1	$-\frac{\pi }{4}$	-45°
$-\frac{1}{\sqrt{3}}$	$-\frac{\pi }{6}$	-30°
0	0	0°
$\frac{1}{\sqrt{3}}$	$\frac{\pi }{6}$	30°
1	$\frac{\pi }{4}$	45°
$\sqrt{3}$	$\frac{\pi }{3}$	60°
$+\infty$	$\frac{\pi }{2}$ (极限值)	90° (极限值)

4. arcsin(x) 和 arccos(x) 的关系

• $\arcsin x$ 和 $\arccos x$ 之间存在线性关系。

它们之间的关系可以用以下恒等式表示：

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$ 这个关系在其共同的定义域 $[-1,1]$ 内成立。

我们可以将这个恒等式改写成以下两种形式：

1. $\arccos x=-1\cdot \arcsin x+\frac{\pi }{2}$
2. $\arcsin x=-1\cdot \arccos x+\frac{\pi }{2}$ 这两种形式都符合线性方程 $y=mx+c$ 的结构：

• 在形式 1 中，如果我们将 $y=\arccos x$，$m=-1$，自变量视为 $\arcsin x$，常数项 $c=\frac{\pi }{2}$。
• 在形式 2 中，如果我们将 $y=\arcsin x$，$m=-1$，自变量视为 $\arccos x$，常数项 $c=\frac{\pi }{2}$。

因此，$\arcsin x$ 和 $\arccos x$ 之间是线性关系。从图像上看，$\arccos x$ 的图像可以看作是将 $\arcsin x$ 的图像关于 x 轴对称（即乘以 -1），然后再向上平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位得到的。这也意味着它们的图像关于直线 $y=\frac{\pi }{4}$ 对称。